Pасчет индукции магнитного поля кругового тока

Гл 6. Постоянное магнитное поле в вакууме

Рассмотрим магнитное поле постоянного тока, текущего по проводу в форме окружности С радиуса а. применим закон Био-Савара- Лапласа(6.1)

И принцип суперпозиции(6.4)

для определения магнитной индукции на оси симметрии этого кругового тока(рис.6.9.)

Рис.6.9. К расчету магнитного поля кругового тока

Для расчета магнитной индукции В выделим на контуре С векторный элемент dl, начало которого находится в некоторой точке А этого контура. Построим вектор R, который соединяет точку А с произвольной точкой Р на оси симметрии контура

R = AP

Для определения положения точки Р проведем координатную ось x вдоль оси симметрии, а начало отсчета поместим в центр контура. При этом расстояние R от точки А до точки Р будет связано с координатой x последней соотношением

R =Ö(a² +x²)

Найдем вектор dB магнитной индукции поля, создаваемого выделенным элементом тока dl в точке P. По определению векторного произведения из закона Био- Саввара- Лапласа следует, что вектор dB перпендикулярен и вектору dl, и вектору R. При этом с учетом того, что векторы dl и R образуют прямой угол, модуль вектора dB будет равен

dB = μ_oIdl/ (4p R ²)

Так как рассматриваемая система обладает осевой симметрией, вектор B магнитной индукции поля, создаваемого всем контуром, на оси симметрии будет направлен вдоль оси этой оси: Cледовательно, только проекция на ось x этого вектора будет отлична от нуля во всех точках этой оси:

B_x =B, B_y =B_z =0,

де B- модуль вектора магнитной индукции.

В силу принципа суперпозиции проекция на ось x вектора B будет

где dB_x – проекция на ось x вектора dB. Используя подобие прямоугольных труогольников на рис. 6.9., находим, что

dB_x = adB/R

Подставив выражение (6.23) в формуле (6.22), с учетом (6.21) получим

Все величины под знаком интеграла не зависят от того, где на контуре С расположен векторный элемент dl, и могут быть вынесены за интеграл.

Так как интеграл от dl равен длине 2pа окружности, придем к формуле

В_х = μ_oIa²/ (2 R ³) (6.24)

Подставив в эту формулу выражение (6.20), получим следующую зави­симость магнитной индукции от координаты х точки Р:

В_х = μ_oIa²/ (2(a² +x²) ^3/2)

Дата добавления: 2014-01-11