Приклад 7

Критерій узагальненого максиміна Гурвіца

Приклад 6

Приклад 5

Знайти оптимальне рішення, скориставшись критерієм Севіджа, якщо відома матриця прибутку:

Розв'язання:

Побудуємо спочатку матрицю прибутку. Далі знайдемо максимальні елементи в кожному стовпці:

	Р1	Р2	Р3
А1
А2
А3
maxі

Тепер побудуємо матрицю втрат: p_ij = max_i a_ij - a_ij.

Тоді:

			maxj
6-5=1	9-3=6	8-1=7
6-6=0	9-4=5	8-8=0
6-2=4	9-9=0	8-6=2

Відповідно до критерію Севіджа, перевагу слід надавати рішенню, для якого втрати, максимальні за різних варіантів умов, виявляються мінімальними.

Тоді Н_s = min (7, 5, 4) = 4 - найбільш сприятлива стратегія Р₃ => А₃. Вибір рішення А₃ гарантує, що у випадку несприятливої обстановки, утрати не перевищать 4 одиниці.

Знайти оптимальне рішення, скориставшись критерієм Севіджа, якщо відома матриця збитків:

Розв'язання:

Побудуємо спочатку матрицю збитків. Знайдемо мінімальні елементи в кожному стовпці:

	Р1	Р2	Р3
А1
А2
А3
minі

Оскільки як вихідні дані розглядається матриця програшів, то для розрахунку за критерієм Севіджа потрібно побудувати матрицю ризику:

r_ij = a _ij- min_i a_ij

			maxj
2-1=1	4-4=0	9-1=8
1-1=0	7-4=3	2-1=1
8-1=7	9-4=5	1-1=0

За критерієм мінімального ризику Севіджа потрібно вибрати стратегію, при якій величина ризику набирає найменше значення в найбільш несприятливій ситуації, тобто min_i max_j r_ij. Н_s = 3, що відповідає стратегії А_2.

Критерій Гурвіца для матриці виграшів. У цьому випадку перевага надається варіанту рішень, для якого виявиться максимальним показник О, що визначається з виразу:

max_i G_i = (xα_i + (1-x) β_i)

H_G= max_i G_i

H_{G =} max_i (xα_i + (1-x) β_i),

де α_{i =} min_j a_ij, β_{i =} max_j a_ij

де a_ij— виграш, що відповідає i-му рішенню при j-ім варіанті обстановки,

х - показник оптимізму (0 < х < І),

при х = 0 — лінія поводження в розрахунку на краще,

х = 1 -лінія поводження в розрахунку на гірше.

При х = 1, критерій Гурвіца прирівнюється до критерію Вальда, тобто орієнтація на обережне поводження.

При х = 0, орієнтація на граничний ризик, що відповідає критерію крайнього оптимізму.

Значення х між 0 і 1 є проміжними між ризиком і обережністю залежно від конкретної обстановки і схильності особи, що приймає рішення, до ризику.

Якщо дана матриця програшів, то перевага надається варіанту рішень, для якого виявиться мінімальним показник G, що визначається з виразу:

H_{G =} min_i (xα_i + (1-x) β_i),

де

α_{i =} max_j a_ij,

β_{i =} min_j a_ij,

де (0 < х < 1) – показник песимізму.

При х = 1 приходимо до песимістичного критерію Вальда.

При х = 0 — до гранично оптимістичного критерію.

Значення х вибирають на підставі суб'єктивних розумінь. Чим більше бажання підстрахуватися в даній ситуації, тим ближче до одиниці значення х.

Знайти оптимальне рішення, скориставшись критерієм Гурвіца, якщо відома матриця прибутку:

Розв'язання:

Знайдемо спочатку величини α_i, і β_i, де α_{i =} min_j a_ij, β_{i =} max_j a_ij

Р1	Р2	Р3	αi	βi

Тепер приймається рішення про вибір стратегії, при якій має місце формула:

H_{G =} max_i (x min α_i + (1-x) max β_i),

	(х 1 + (1-х) 5)
HG = maxi	(х 4+ (1-х) 8)
	(х 2+ (1-х) 9)

Тоді х — показник оптимізму (0 < х < 1).

Тепер побудуємо графік статистики. Для цього побудуємо пряму ОХ, відкладемо на ній точки α і β, побудуємо перпендикуляри з цих точок до осі ОХ (рис. 9.1). Відкладемо точки на прямих α і β. Прямій № 1 відповідають точки 1 і 5. Прямій № 2 відповідають точки 4 і 8. Прямій № 3 відповідають точки 2 і 9.

Рис. 9.1. Графічний розв'язок для критерію Гурвіца

Нижньою ціною гри буде пряма № 1, отже потрібно вибрати стратегію 1. При х = 1 виграш буде дорівнювати 1, при х = 0 мінімальний виграш буде дорівнювати 5.

Дата добавления: 2014-01-11