Застосування визначених інтегралів до обчислення площ та об’ємів

Визначений інтеграл застосовується для обчислення площ плоских фігур:

Якщо криволінійна трапеція обмежена двома неперервними кривими іта прямими , причому для , то її площу знаходять за формулою

Визначений інтеграл застосовується для знаходження об’єму тіла, утвореного обертанням дуги кривої , навколо вісі OX:

або кривої , навколо ОY:

Завдання. Обчислити:

б) Інтегруємо по частинам:

в)

Завдання. Обчислити площу, обмежену лініями .

Розв’язання:

Для визначення границь інтегрування розв’яжемо систему

,

звідки (рис.).

Тоді (кв.од.)

Завдання. Визначити об’єм тіла, утвореного обертанням навколо вісі Оу фігури, обмеженої лініями та .

Розв’язання. З рівняння гіперболи визначаємо

Тоді об’єм тіла, утвореного обертанням частини гіперболи навколо вісі Оу в межах від до , дорівнює

Задачі, що приводять до поняття визначеного інтеграла

Означення. Криволінійною трапецією називається плоска фігура, що обмежена лініями:

На рис. 7.3. зображені: класична криволінійна трапеція (а) та її вироджені випадки (б) та (в).

Рис. 7.3

Задача. Обчислити площу криволінійної трапеції аАВв (рис. 7.4).

Розв’язання.

Розіб’ємо проміжок [ a; b ] на n частин точками так що Виберемо точки так: Побудуємо прямокутники з основою і висотою (рис. 7.4).

Площа елементарного прямокутника . Площа ступінчастої фігури буде тим менше відрізнятись від площі криволінійної трапеції S_aABb, чим менша довжина , а в граничному випадку ці площі будуть збігатися, тобто

Рис. 7.4

Задача. Обчислити роботу змінної сили що виконується при переміщенні матеріальної точки на проміжку (рис. 7.5).

Розв’язання.

Розіб’ємо проміжок [ a; b ] на n частин точками На кожному з відрізків вважатимемо, що сила стала і дорівнює , (рис. 7.5).

Рис. 7.5

Елементарна робота сили на відрізку буде Робота А сили на відрізку [ a; b ] знайдеться тоді так:

Означення. Сума типу називається інтегральною сумою.

Оперувати поняттям інтегральної суми доводиться у процесі розв’язку різних задач. Взагалі інтегральна сума може залежати від способу розбиття проміжка [ a; b ] на частини , а також від вибору на них точок

Дата добавления: 2014-01-11