Интегральный признак Коши – Маклорена

Т°. Если для знакоположительного ряда с монотонно убывающими членами, существует интегрируемая по Риману на замкнутых подпромежутках положительной полуоси, невозрастающая неотрицательная функция, совпадающая при целых значениях аргумента со значениями соответствующих членов ряда, то ряд и несобственный интеграл сходятся и расходятся одновременно. При этом разность между остатком ряда после n -го члена и интегралом по не превышает n +1 члена ряда.

Δ Рассмотрим на оси абсцисс точки 1, 2, 3, …, n– 1, n, n +1. И построим …..

Прежде всего, отметим что . Здесь – площадь криволинейной трапеции «по недостатку», а – площадь криволинейной трапеции «по избытку».

Пусть такая, что и, кроме того, .

Тогда Þ Þ Þ

Þ . Из этого неравенства, ясно что, если ряд сходится, то сходится и интеграл , и наоборот.

(?). Рассмотрим цепочку неравенств: Þ Þ

Þ . Перейдем к пределу при ........ ▲

Пример 1:

, и здесь знак эквивалентности означает, что ряды и интегралы, стоящие по разные стороны этого знака сходятся или расходятся одновременно. Тогда ряд сходится при р >1 и расходится при р 1.

Пример 2: Дзета-функция Римана ζ(z).

Def: ; . Если Þ ,

а ряд сходится или расходится одновременно с интегралом .

т. е. ряд сходится, если Re z > 1 и расходится при Re z 1.

Дата добавления: 2014-01-11