Сапог Шварца”

Задача о нахождении площади поверхности.

При рассмотрении длины кривой мы фактически определили длину кривой как предел длины вписанной в кривую ломанной, когда максимальная длина звена ломаной стремится к нулю.

Казалось бы, что при решении задачи о площади поверхности логично ее определить как предел площади вписанного многогранника. Однако следующий пример показывает, что такой подход здесь не срабатывает.

Рассмотрим прямой круговой цилиндр высоты Н и с радиусом основания R. Разобьем его на m цилиндров высоты .

Каждую окружность разобьем на n частей и впишем в них правильные n -угольники. Причем точки деления вышележащих окружностей лежат над серединами дуг нижней окружности. Соединим отрезками соседние вершины смежных по вертикали n -угольников. Так построенный многогранник, вписанный в цилиндр называется «сапогом Шварца». Вычислим площадь

«сапога Шварца». .

Тогда: . Устремим . Получим .

Предел этого выражения зависит от отношения и, следовательно, не существует.

Дата добавления: 2014-01-11