Поверхностные интегралы 1-го рода

Пусть в Е ₃ задана поверхность : ;

, и на поверхности S задана функция .

Проводя в области координатные линии и , получим в области разбиение . В каждом элементе разбиения отметим точку .

Разбиение с отмеченными точками индуцирует на также разбиение с отмеченными точками . В каждый отмеченной точке построим касательную плоскость к поверхности. Заменим поверхность на чешуйчатую поверхность, состоящую из кусочков касательных плоскостей.

Рассмотрим: . Здесь – координаты отмеченной точки, – скалярный элемент площади. Если такой предел существует, то он называется поверхностным интегралом 1-го рода и обозначается .

.

Физический смысл поверхностного интеграла 1-го рода – масса поверхности S с поверхностной плотностью .

Свойства:

1°. Условие нормировки: . Это условие обозначает, что поверхностный интеграл 1-го рода от единицы численно равен площади поверхности.

2°. Интеграл не зависит от стороны двухсторонней поверхности, по которой

идет интегрирование: .

3°. О нахождении : Þ

Þ = .

Еще рассмотрим: .

= = ,

Здесь: , ,

.

Величина: называется первой квадратичной формой поверхности. Эта квадратичная форма положительно определена. Ее матрица: и, следовательно, по критерию Сильвестра: .

Теперь отметим, что: и . Возведем оба соотношения в квадрат и сложим. Получим: .

Тогда: .

4°. .

.

Примеры вычисления поверхностных интегралов рода:

1°. Вычислить , где – часть поверхности параболоида , отсекаемая плоскостью .

Δ. Запишем параметрическое уравнение заданной поверхности:

.

Находя вектор нормали к поверхности , можем найти и элемент поверхности Þ .

Параллельно получена формулы нахождения и для для функции заданной явно:

, .

Тогда, вычисляя исходный интеграл, получаем:

. Здесь – проекция поверхности интегрирования на плоскость , т.е. круг единичного радиуса. Переходя в полярную систему координат, вычисляем интеграл:

. ▲

2°. Вычислить , если S - граница тела: .

Δ. Поверхность интегрирования состоит из двух частей – боковой поверхности конуса и крышки. Поэтому .

Первый из этих интегралов – интеграл по кругу единичного радиуса и

.

Для вычисления второго из интегралов запишем параметрическое уравнение конуса в виде: и векторный и скалярный элементы площади поверхности: и . Тогда для искомого интеграла получаем:

= .▲

И, наконец, .

3°. Вычислить , если S – полусфера ,.

Δ. Параметрическое уравнение сферы радиуса а:

.

Тогда =

= Þ

Þ .

Тогда: =

= = 0.

§. Поверхностные интегралы 2рода.

Дата добавления: 2014-01-11