Відстань від точки до прямої

Рис. 3.

Задача знаходження відстані від точки до прямої .

Шукану відстань можна розглянути як довжину висоти паралелограма, побудованого на векторах і (рис. 3.). Площа паралелограма дорівнює модулю векторного добутку векторів, на яких побудовано цей паралелограм. Доходимо висновку, що шукану висоту, а отже, і відстань від точки до прямої можна знайти за формулою:

(9)

6. Взаємне розміщення прямої і площини у просторі

Нехай задано пряму і площину у просторі. Якщо

, то пряма перпендикулярна до площини, а коли

, пряма паралельна площині.

Нехай . Знайдемо координати точки перетину площини і прямої. Перейдемо до канонічного рівняння прямої

і підставимо значення х, у, z у рівняння площини:

Звідси, використовуючи умову непаралельності, знайдемо значення параметра

.

Координати точки перетину:

.

Знайдемо кут між площиною і прямою.

Рис. 4

Кут j між площиною і прямою дорівнює куту між прямою і її проекцією на площину (рис. 4). Вектор — перпендикулярний до площини, а кут a, який він утворює з вектором , разом з j у сумі дорівнює 90°. Тобто a + j = 90°.

Знайдемо кут a як кут між двома векторами.

.

Якщо , то , а якщо , то , у будь-якому разі . Отже,

.

Пример1.2.10. Вычислить длину высоты тетраэдра ABCD, прове­денную из вершины D к основанию АВС, если вершины тетраэдра имеют координаты:

А (1,2,0), B(2,1,1), С(0,-3,-1), D(3,3,4). Найдем координаты векторов, выходящих из вершины А:

АВ(1,-1,1), AC(-1,-5,-1), AD(2,1,4), V_тетр=1/6(| АВ×АС×AD|); V_тетр =1/3(S_DABC×H_D);

S_DABC=1/2 (|AB´AC|); H_D=. Отсюда

Дата добавления: 2014-01-11