Статистический анализ результатов испытаний

Статистический анализ результатов испытаний необходим для оценки достоверности эксперимента и включает следующие этапы:

1. Проверка воспроизводимости или постоянства дисперсии отклика сводится к проверке гипотезы об однородности дисперсий , найденных по результатам N опытов.

Дисперсия отклика для u -го опыта равна:

, u = 1,2,… N

где y_uq – отклик u -го опыта при q -м повторе, m – число повторов опыта.

Вычисляем экспериментальные значения критерия Кохрена, т.е. отношение максимальной из N дисперсий к сумме всех дисперсий:

где G ≤ G _табл – соответствие выполненного условия однородности дисперсий.

Гипотеза об однородности дисперсий подтверждается, если вычисленное значение критерия не превышает критического значения, определённого по соответствующим таблицам, в зависимости от числа степеней свободы k ₁ = m – 1; k ₂ = N и доверительной вероятности .

2. Адекватность модели, т.е. пригодность ранее принятой функции отклика для описания реального объекта исследования, проверяют по отношению дисперсий адекватности и воспроизводимости.

Дисперсию воспроизводимости или оценку дисперсии отклика определяют по формуле

Дисперсию адекватности определяем по формуле:

,

Где k – число факторов; - расчетная оценка среднего значения отклика в u- м опыте, вычисляемая по соответствующему полиному.

Например, для линейной модели

Где - значение i -го фактора в u -м опыте.

Экспериментальное значение F-критерия (критерия Фишера) равно

Модель считают адекватной, если вычисленное значение F меньше критического, определённого по таблицам F-распределения [5, 45], в зависимости от числа степеней свободы ,

и доверительной вероятности .

Для насыщенных планов, в которых число определяемых коэффициентов равно числу опытов, для проверки адекватности проводят дополнительные опыты. Так, для линейной модели дополнительно ставят опыты в центре плана. По расхождению между полученным и расчетным значениями отклика принимают решения об адекватности модели.

При неадекватности модели возможны следующие действия: усложнение модели, достройка плана, преобразование переменных, изменение интервалов варьирования.

3. Значимость коэффициентов модели проверяем по t -критерию Стьюдента. Проверку начинаем с вычисления дисперсий коэффициентов.

Для планов дробного и полного факторного эксперимента типа дисперсии оценок коэффициентов , , одинаковы и определяются по формуле

.

Экспериментальное значение критерия Стьюдента равно

,

Где - абсолютное значение оценки проверяемого коэффициента, т.е. одного из коэффициентов , , .

Коэффициент считают значимым, если вычисленное значение критерия больше, чем критическое значение, выбираемое по таблицам распределения Стьюдента, в зависимости от числа степеней свободы и доверительной вероятности .

Для квадратичной модели, когда испытания проводят по ортогональному центральному плану, дисперсии оценок коэффициентов модели определяют по следующим зависимостям:

, .

, ;

, ;

,

Где - общая дисперсия среднего значения отклика определяется по формуле

.

Далее для каждого из коэффициентов вычисляется t -критерий Стьюдента (отношение абсолютного значения коэффициента к его среднему квадратичному отклонению) и сравнивают с табличным значением, найденного в зависимости от числа степеней свободы и доверительной вероятности .

Пример. Исследовать влияние радиального и углового смещений осей соединяемых валов на долговечность муфты с резиновым торообразным элементом вогнутого профиля. Муфта нагружена номинальным моментом Т= 100 Нм, наружный диаметр муфты мм.

Решение: Схематизация эксперимента. На муфту (объект исследования) действуют два фактора: радиальное и угловое смещения полумуфт. Кодированные значения факторов обозначаем соответственно через и определяем по следующим зависимостям:

; .

Предельные значения радиальных и угловых смещений устанавливаем, исходя из опыта эксплуатации муфт: . Подставляя предельные значения в формулу для и , получаем

.

В качестве отклика Y рассматриваем логарифмы ресурса , где L-ресурс, выраженный в оборотах муфты.

Требуется оценить функцию отклика, т.е. найти связь между факторами и откликом.

Функцию отклика задаем полиномом первого порядка с учетом эффекта взаимодействия

,

Где ,, , - коэффициенты функции.

Соответственно оценку функций отклика (эмпирического уравнения регрессии) ищем в виде

,

Где ,, , - оценки коэффициентов ,, , соответственно.

При планировании эксперимента выбран план полного факторного эксперимента типа . Число опытов ;число повторов каждого опыта необходимое число образцов равно .

Испытания проводятся на стенде с замкнутым контуром, спроектированном и изготовленном в МВТУ им. Н. Э. Баумана. Циркулирующий в контуре момент соответствовал номинальному моменту испытуемой муфты. Конструкция стенда позволяет изменять радиальное и угловое смещение полумуфт в широких пределах.

Результаты испытаний на долговечность представлены в виде значений логарифмов ресурса.

№ опыта	Факторы	Эффект взаимодействия	Отклик
				Повторы опыта	Среднее значение	Среднее квадратичное отклонение
	+	+	-	-	6,7634; 6,7924; 6,9138	6,8232	0,07979
	+	+	+	+	5,8692; 5,9638; 6,0170	5,9500	0,07486
	+	-	-	-	6,5051; 6,5798; 6,7620	6,6156	0,1321
	+	-	+	+	7,8195; 7,8921; 8,1250	7,9455	0,1596

Учитывая, что число повторов m=3, среднее значение и среднее квадратичное отклонение логарифмы ресурса в -м опыте, определяем по формулам

;

Где - текущее значение логарифма ресурса.

По результатам испытаний определяем оценки коэффициентов функций отклика

;

;

;

.

Оценка функции отклика в кодированных значениях факторов записываем в виде

.

После подставки значений и получаем оценку зависимости среднего значения логарифма ресурса от радиальных и угловых смещений осей соединяемых валов

.

Статистический анализ результатов испытаний начинаем с проверки однородности дисперсии.

Вычисляем критерий Кохрена

Критическое значение критерия выбрано [45] в зависимости от числа степеней свободы , и доверительной вероятности .

Критическое значение критерия , что соответствует выполнению условия однородности дисперсий.

Для проверки значимости коэффициентов модели вычисляем дисперсию воспроизводимости

Дисперсия коэффициентов модели

Экспериментальные значения критерия Стьюдента для коэффициентов соответственно равны:

Критическое значение критерия выбрано по [5.45] в зависимости от числа степеней свободы и доверительной вероятности

Так как значения критерия больше критического значения , полагают, что все коэффициенты модели значимы. Следовательно, ранее определенная зависимости среднего значения логарифма ресурса от радиального и углового смещений остается в силе.

Дата добавления: 2014-01-11