Свободные колебания без учета сил сопротивления

Учение о колебаниях составляет основу ряда областей физики и тех­ники. Хотя колебания, рассматриваемые в различных областях, на­пример в механике, радиотехнике, акустике и др., отличаются друг от друга по своей физической природе, основные законы этих коле­баний во всех случаях остаются одними и теми же. Поэтому изуче­ние механических колебаний является важным не только по той причине, что такие колебания очень часто имеют место в технике, но и вследствие того, что результаты, полученные при изучении меха­нических колебаний, могут быть использованы для изучения и уясне­ния колебательных явлений в других областях.

Начнем с изучения свободных колебаний точки без учета сил сопротивления. Рассмотрим точку М, движущуюся прямолинейно под действием одной только восстанавливающей силы, направленной к неподвижному центру О и пропорциональной расстоянию от этого центра. Проекция силы на ось Ох (рис.27) будет равна

F_x=-cx.

Рис.27

Сила, как видим, стремится вернуть точку в равновесное положение О, где; отсюда и наименование «восстанавливающая» сила. Примером такой силы является сила упругости. Коэффициент c пропорциональности называется жесткостью упругого элемента.

Найдем закон движения точки М. Составляя дифференциальное уравнение движения получим

.

Деля обе части равенства на т и вводя обозначение

,

приведем уравнение к виду

.

Уравнение представляет собою дифференциальное уравне­ние свободных колебаний при отсутствии сопротивления. Реше­ние этого линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка ищут в виде x=e^nt. Полагая x=e^nt, получим для определения п так называемое характеристиче­ское уравнение, имеющее в данном случае вид п² + k² = 0. Поскольку корни этого характеристического уравнения являются чисто мнимыми (), то, как известно из теории дифференциальных уравне­ний, общее решение имеет вид

,

где C ₁ и С ₂ - постоянные интегрирования. Если вместо постоянных C ₁ и С ₂ ввести постоянные а и, такие, что,, то мы получим или.

Это другой вид решения, в котором постоянными интегрирования являются а и. Им удобнее пользоваться для общих исследований.

Скорость точки в рассматриваемом движении равна

.

Колебания, совершаемые точкой по закону называются гар­моническими колебаниями.

Всем характеристикам этого движения можно дать наглядную ки­нематическую интерпретацию. Рассмотрим точку В, движущуюся равномерно по окружности радиуса а из положения В ₀ определяемого углом (рис.28).

Пусть постоянная угловая ско­рость вращения радиуса ОВ равна k. Тогда в произвольный момент времени t угол и про­екция М точки В на диаметр, перпендику­лярный к DE, движется по закону, где х=ОМ, т.е. совер­шает гармонические колебания.

Рис.28

Величина а, равная наибольшему откло­нению точки М от центра колебаний, назы­вается амплитудой колебаний. Величина называется фазой колебаний.

Величина k, совпадающая с угловой скоростью вращения радиуса ОВ, показанного на рис.15 называется круговой частотой колебаний.

Промежуток времени Т (или), в течение которого точка совер­шает одно полное колебание, называется периодом колебаний.

По истечении периода фаза изменяется на. Следовательно, должно откуда период

.

Величина, обратная периоду и определяющая число колебаний, совершаемых за одну секунду, называется частотой колебаний

.

Отсюда видно, что величина k отличается от Т только постоянным множителем. В дальнейшем мы обычно для краткости частотой колебаний будем называть величину k.

Значения а и определяются по начальным условиям. Считая при t =0, получим и. Отсюда, складывая сначала квадраты этих равенств, а затем деля их почленно, найдем:

.

Отметим, что свободные колебания при отсутствии сопротивления обладают следующими свойствами: 1) амплитуда и начальная фаза колебаний зависят от начальных условий; 2) частота k, а следова­тельно, и период Т колебаний от начальных условий не зависят.

Рис.29

Влияние постоянной силы на свободные колебания точки. Пусть на точку М, кроме восстанавливающей силы F, направленной к центру О, действует еще постоянная по модулю и направлению сила Р (рис.29). Ве­личина силы F по прежнему пропорциональна расстоянию от центра О, т.е.

Очевидно, что в этом случае положением рав­новесия точки М будет центр О ₁ отстоящий от О на расстоянии, которое определяется равенством или

.

Величину назовем статическим отклонением точки. Примем центр O ₁ за начало отсчета и направим координатную ось О ₁ х в сторону действия силы. Тогда,. В результате, составляя дифференциальное уравнение дви­жения и учитывая, что согласно равенству, будем иметь:

или.

Отсюда заключаем, что постоянная сила Р не изменяет характера колебаний, совершаемых точкой под действием восстанавливающей силыF, а только смещает центр этих колебаний в сторону действия силы Р на величину ста­тического отклонения.

Дата добавления: 2014-01-11