Выпуклость и вогнутость графика функции на интервале

Кроме понятий вогнутости и выпуклости в точке введем аналогичные понятия на интервале.

Пусть функция y = f (x) определена на (a; b), и точки х₁, х₂ таковы, что . Через точки A (x₁; y₁) и В (x₂; y₂) проведем хорду АВ, ординаты которой обозначим . Очевидно, .

Если то функция y = f (x) выпукла на (a; b) (см. рис. 1.2.1.). Если же , то функция y = f (x) вогнута на (a; b).

3. Вернемся к рассмотрению функции y = f (x), определенной в U (х_о). Геометрически ясно, что вопрос о выпуклости, вогнутости или точке перегиба зависит от знака разности между ординатами кривой и касательной в U (х_о), т.е. от (см. рис. 1.3.1.).

А именно:

если в U (х_о)d >0, то функция вогнута в точке х_о;

если в U (х_о)d < 0, то функция выпукла в точке х_о;

если в U (х_о) при х < x_od >0, а при х > x_od < 0, или,

наоборот, при х < x_od < 0, а при х > x_od > 0,

т.е. d меняет знак при переходе через точку х_о, то точка х_о является точкой перегиба.

Дата добавления: 2014-01-11