Лекция № 6 “Интегрирование некоторых иррациональных

функций”

1. Интегралы вида .

Интегралы такого типа вычисляются по следующей схеме:

– у дробей находят наименьший общий знаменатель, который обозначим через ;

– проводят замену .

В результате приведенных действий данный интеграл переходит в неопределенный интеграл от рациональной функции.

Пример 1. Вычислить .

В данном примере , следовательно, наименьший общий знаменатель этих дробей равен 6. Таким образом,

.

2. Интегралы вида .

Такие интегралы путем замены приводятся к одному из интегралов вида:

1.; 2.; 3..

Для вычисления этих интегралов применяют следующие тригонометрические замены 1. ; 2. ; 3. – которые позволяют избавиться от квадратного корня.

Пример 2. Вычислить .

Данный интеграл соответствует интегралам типа 1., поэтому

(этот интеграл вычислен в Лекции № 5, см. Пример 4)

.

Пример 3. Вычислить .

Воспользуемся указанной выше заменой

(интеграл вычислен в п. 2а) .

Пример 4. Вычислить .

.

Пример 5. Вычислить .

Воспользуемся указанной выше заменой

.

3. Понятие о неберущихся интегралах.

О1. Интегралы, первообразные для которых не выражаются через элементарные функции, называются неберущимися.

Пример 6. Приведенные интегралы являются неберущимися

.

Следующие интегралы вычислить самостоятельно, используя теоретический материал рассмотренной темы:

Пример 7. ; ; ; ;

; ; .

Дата добавления: 2014-01-11