Значение определенного интеграла не зависит от того, какой буквой обозначается переменная интегрирования в определенном интеграле

.

б) постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла.

2. При перестановке пределов интегрирования местами определенный интеграл изменяет свой знак на противоположный .

3. Если пределы интегрирования равны между собой, то определенный ин-теграл равен нулю . 4. .

5. Если на сегменте функция , то .

6. (аддитивность определенного интеграла) Если точка , то

.

Геометрический смысл свойства (Рис. 6):

Рис. 6. Иллюстрация свойства аддитивнос-

ти определенного интеграла.

З3. Свойство аддитивности определенного интеграла справедливо и тогда, когда точка лежит вне интервала : Пусть, например, , тогда можно записать, что . Следовательно,

.

Используя свойство 2 для вычитаемого определенного интеграла, получим формулу свойства 6.

.

3. Неравенства для определенных интегралов.

Т1. Если непрерывные на сегменте функции и удов-летворяют неравенству , то .

З4. Данная теорема применяется для сравнения определенных интегралов без их непосредственного вычисления.

Док-во. Введем в рассмотрение новую функцию . Так как , то по свойству 5 для определенного интеграла

.

Отсюда следует доказываемое неравенство.

Пример 1. Пусть и заданы на сегменте . Доказать, что

.

Построим графики данных функций на сегменте (Рис. 7):

1 Рис. 7. Сравнение определенных интегралов.

Из рисунка видно, что . Отсюда, по Т1 имеем .

Дата добавления: 2014-01-11