Находят первую производную общего решения

Т1. (о структуре общего решения ЛНДУ II) Общее решение ЛНДУ II можно представить в виде суммы общего решения соответствующего ему ЛОДУ II:и любого частного решения исходного ЛНДУ II, т.е..

Док-во. Так как общее решение ЛОДУ II , то общее решение ЛНДУ II будет иметь вид . Докажем, при любых вещественных числах и данная функция является решением ЛНДУ II. Подставляя в ЛНДУ II функцию , получим

.

Докажем, что за счет выбора постоянных и можно удовлетворить любым допустимым ненулевым начальным условиям

и .

Так как функция , то , следовательно, . Отсюда получаем систему линейных алгебраических уравнений относительно констант и :

.

Главным определителем этой системы является вронскиан

,

который в точке отличен от нуля. Следовательно, система имеет единственное решение (см. метод Крамера, Лекция № 3, Первый семестр) относительно постоянных и .

3. Метод вариации постоянных.

Для отыскания решения ЛНДУ II с постоянными коэффициентами Лагранж предложил метод вариации постоянных, который состоит в следующем:

– находят решение линейного однородного дифференциального уравнения II порядка с постоянными коэффициентами ;

– предполагают, что коэффициенты и также являются функциями аргумента, т.е. общее решение ЛНДУ II с постоянными коэффициентами ищут в виде ;

;

– в силу произвольности функций и выбирают их так, чтобы выполнялось равенство ;

Дата добавления: 2014-01-11