Записывают общее решение ЛНДУ II с постоянными коэффициентами

.

З1. Метод вариации постоянных применим и в том случае, когда в качестве коэффициентов выступают функции.

Пример 4. Решить ДУ II .

Решим однородное ДУ II . В этом уравнении в явном виде от-сутствует функция , следовательно (см. Лекцию № 14), проведем замену и с учетом того факта, что , ДУ II сводится к ДУ I с разделяющимися переменными

.

Потенциируя полученное равенство находим, что . Разделяя переменные и интегрируя, получим

.

Из этого выражения видно, что два частных линейно-независимых решения

однородного уравнения имеют вид и . Решение неоднородного ДУ II будем искать в виде . Запишем систему линейных алгебраических уравнений относительно функций и

.

Из второго уравнения системы находим, что , тогда из первого уравнения системы . Интегрируя полученные выражения, находим и . Таким образом, общее решение неоднородного ДУ II равно

.

Дата добавления: 2014-01-11