Понятие дифференциала функции

Односторонние производные

Пусть функция определена на полусегменте.

Определение 2. Если существует

,

он называется правосторонней производной функции в точке и обозначается.

Пусть функция определена на полусегменте.

Определение 3. Если существует

,

он называется левосторонней производной функции в точке и обозначается.

Теорема 1 (критерий дифференцированности функции в точке). Для того, чтобы функция была дифференцирована в точке необходимо и достаточно, чтобы в этой точке существовали, и

.

Задание. Доказать теорему 1.

Пример. Доказать, что функция не имеет производной в точке.

,

.

Поскольку, то функция не имеет производной в точке.

Теорема 2. Если функция дифференцирована в точке, то она непрерывна в этой точке.

Доказательство. Поскольку дифференцирована в точке, то в достаточно малой окрестности точки для нее имеет место равенство (5):

.

Перейдем к пределу в последнем равенстве, когда:

. (6)

Вспомним, что, тогда (6) имеет вид:

,

что свидетельствует о непрерывности функции в точке.

Замечание. Из непрерывности функции в точке вообще не вытекает ее дифференцированность в этой точке. Например, функция непрерывна в точке, но не имеет в этой точке производной.

Определение 4. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки. Если

,

то говорят, что имеет бесконечную производную в точке.

Пример. Рассматривается функция (рис.3).

.

Замечание. Существование у функции бесконечной производной не обеспечивает непрерывности функции в этой точке.

Пример. Рассматривается функция.

,

.

Таким образом,, а функция имеет в точке разрыв І рода.

Пусть функция определена на,, дифференцируема в точке, т.е. в окрестности точки представляется согласно (5):

.

Разность называется приращением функции в точке, а приращением аргумента. В принятых обозначениях предыдущая формула будет иметь вид:

Определение 5. Дифференциалом функции в точке называется линейная функция

.

Дифференциал - это линейная часть приращения функции. Дифференциал функции сам является функцией.

Приращение аргумента также называют дифференциалом независимой переменной и обозначают:

.

Тогда

.

Пример. Найти дифференциал функции в произвольной точке. Для этого надо:

1. Найти выражение для приращения функции в точке;

2. В выражении для приращения функции в точке найти линейную часть, т.е. ту часть, которая содержит в первой степени;

3. Для той части приращения функции, которая осталась после выделения линейной части, доказать, что она является бесконечно малой, порядка высшего, чем, когда;

4. Если третий шаг выполнен, то линейная часть приращения функции, найденная на втором шаге, и является дифференциалом функции в точке.

Проделаем последовательно действия всех четырех шагов для функции:

1.

2. Линейная часть полученного приращения функции - это. В этом слагаемом находится в первой степени, а в других слагаемых - и показатели степени при соответственно 2 и 3.

3. После выделения линейной части приращения осталось:. Проверим, что. Для этого вычислим:

.

Поскольку вычисленный предел равняется 0, то действительно.

Таким образом

.

Дата добавления: 2014-01-11