Вопросы. Производная обратной функции

Производная обратной функции. Производные обратных тригонометрических функций

Производная сложной функции

Простейшие правила вычисления производной

Пусть функции и определены на интервале и дифференцированы в точке. Тогда

1. Функции тоже дифференцированы в точке и

;

2. Функция, где, дифференцирована в точке и

;

3. Функция дифференцирована в точке и

;

4. Функция дифференцирована в точке и

, где.

Пример. Найти, если.

Нехай на визначена складна функція.

Теорема 3. Нехай внутрішня функція диференційована в точці, а зовнішня функція диференційована в відповідній точці. Тоді складна функція диференційована в точці, і

.

Приклад. Функція є складною: внутрішня функція, зовнішня функція. За попередньою теоремою похідна складної функції є добутком похідної зовнішньої функції, аргументом якої буде внутрішня функція, і похідної внутрішньої функції:

Теорема 4. Пусть функция определена, непрерывна, строго монотонна на. Если дифференцирована в точке и, то обратная функция будет дифференцированной в соответствующей точке, и

.

Доказательство. По условиям теоремы обратная функция существует и непрерывна на множестве значений функции. Построим разностное отношение для функции в точке:

. (7)

Перейдем к пределу в равенстве (7), когда. Учтем, что благодаря непрерывности обратной функции имеем:, т.е. при и. Тогда

,

т.е.

,

что и нужно было доказать.

Пример. Надо вычислить производную для функции. Для функции. Обратная функция:. Для известно:. Тогда по предыдущей теореме:

. (8)

Но для дальнейшего использования производной удобнее иметь ее выражение через переменную, от которой зависит сама функция. Для этого вспомним, что, а тогда

(9)

(знак «+» перед определяется тем, что, а для таких углов косинус положительный). Подставляя (9) в (8), получим:

.

Задание. Доказать, пользуясь теоремой 4, что

;

;

.

1. Что называется разностным отношением функции в точке?

2. Определение производной функции в точке.

3. Вычислить производную функции в произвольной точке, пользуясь лишь определением производной.

4. Геометрический смысл производной функции в точке.

5. Как в окрестности точки дифференцирования представляется функция?

6. Определения односторонних производных.

7. Как связаны между собой дифференцированность и непрерывность функции в точке?

8. Что такое бесконечная производная функции в точке?

9. Определение дифференциала функции в точке.

10. Правила вычисления производной.

11. Правило вычисления производной сложной функции. Привести примеры.

12. Любая ли обратная функция имеет производную?

Дата добавления: 2014-01-11