Однобічні похідні

Визначення похідної функції

Похідна зворотної функції. Похідні зворотних тригонометричних функцій

Похідна складної функції

Найпростіші правила обчислення похідної

Поняття диференціалу функції

Однобічні похідні

Визначення похідної функції

План

Лекція 10. Похідна функції однієї змінної

Нехай функція визначена на,. Відношення

(1)

називається різницевим відношенням.

Визначення 1. Якщо існує скінченна границя різницевого відношення (1), коли, то вона називається похідною функції в точці:

. (2)

Якщо має похідну в точці, то називається диференційованою в точці.

За визначенням 1 зрозуміло, що похідна функції в точці - це число, яке визначається однозначно.

Зауваження (геометричний зміст похідної функції в точці). Похідна функції в точці - це тангенс кута нахилу дотичної до графіка функції, яка побудована в точці, до додатного напряму осі ОХ (рис.1). Зрозуміло, що в разі диференційованості функції в точці дотичну до графіка функції в точці побудувати можна, а якщо не має похідної в точці, то не існує і дотичної до графіка в точці (рис.2).

Рис.1.

Приклад. Перевірити, чи буде диференційованою в будь-якій точці функція.

Для відповіді на поставлене запитання знайдемо границю різницевого відношення для, коли:

.

Оскільки границя різницевого відношення існує і дорівнює 2, то є диференційованою в будь-якій точці і.

Рис.2.

Приклад. Довести, що в будь-якій точці похідна функції існує і дорівнює.

Обчислимо границю різницевого відношення для функції:

Оскільки границя існує, то існує і похідна:, що і потрібно було довести.

Позначимо:

,

тоді

,

а

.

Тоді

.

Позначимо:

, (3)

при цьому

.

З (3) маємо:

. (4)

Оскільки

,

то (4) має вигляд:

. (5)

З (5) витікає, що диференційована в точці функція в достатньо малому околі цієї точки представляється як лінійна функція

з точністю до нескінченно малої порядку вищого за ().

Нехай функція визначена на напівсегменті.

Визначення 2. Якщо існує

,

вона називається правобічною похідною функції в точці і позначається.

Нехай функція визначена на напівсегменті.

Визначення 3. Якщо існує

,

вона називається лівобічною похідною функції в точці і позначається.

Теорема 1 (критерій диференційованості функції в точці). Для того, щоб функція була диференційована в точці необхідно і достатньо, щоб в цій точці існували, і

.

Завдання. Довести теорему 1.

Приклад. Довести, що функція не має похідної в точці.

,

.

Оскільки, то функція не має похідної в точці.

Теорема 2. Якщо функція диференційована в точці, то вона неперервна в цій точці.

Доказ. Оскільки диференційована в точці, то в достатньо малому околі точки для неї має місце рівність (5):

.

Перейдемо до границі в останній рівності, коли:

. (6)

Пригадаємо, що, тоді (6) має вигляд:

,

що свідчить про неперервність функції в точці.

Зауваження. З неперервності функції в точці взагалі не витікає її диференційованість в цій точці. Наприклад, функція неперервна в точці, але не має в цій точці похідної.

Визначення 4. Нехай функція визначена в деякому околі точки. Якщо

,

то кажуть, що має нескінченну похідну в точці.

Приклад. Розглядається функція (рис.3).

.

Зауваження. Існування у функції нескінченної похідної не забезпечує неперервності функції в цій точці.

Приклад. Розглядається функція.

,

.

Таким чином,, а функція має в точці розрив І роду.

Дата добавления: 2014-01-11