Производные высших порядков

Теорема Дарбу

Теорема Коши

Теорема Лагранжа. Формула Лагранжа

Теорема (Лагранжа). Пусть функция определена на и выполняются условия:

1. непрерывна на;

2. дифференцируема в.

Тогда существует точка, что

. (30)

Доказательство. Построим вспомогательную функцию

.

Коэффициент выберем так, чтобы выполнялось условие:. По определению функции это эквивалентно:

,

откуда

,

а.

Для выполнены все условия теоремы Ролля, поэтому существует, что:

,

что и нужно было доказать.

Формулу (30) можно записать в эквивалентном виде:

. (40)

Формула (40) называется формулой Лагранжа.

Замечание. Теорема Ролля является частным случаем теоремы Лагранжа. Действительно, если к условиям 1,2 теоремы Лагранжа добавить условие, то формула (30) будет иметь вид:, что отвечает теореме Ролля.

Геометрический смысл теоремы Лагранжа понятен из рис.5: если выполняются условия теоремы, то найдется такая точка, что касательная к графику функция, проведенная в точке, будет параллельна секущей к графику, проведенной через точки,.

Рис.5.

Теорема (Коши). Пусть функции рассматриваются на и выполняются условия:

1. непрерывны на;

2. дифференцируемы в;

3. для.

Тогда существует точка, что

. (50)

Доказательство. Знаменатель в левой части формулы (50) не равняется нулю. Действительно, если предположить, что, то функция удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля, а потому для нее нашлась бы такая точка, что, что противоречит третьему условию теоремы.

Построим вспомогательную функцию

.

Попробуем выбрать так, чтоб. По определению функции это эквивалентно:

,

откуда, учитывая, что, получим

,

а.

Производная функции определяется следующим образом:

.

Для выполнены все условия теоремы Ролля, поэтому существует, что:

,

что и нужно было доказать.

Замечание. Теорема Лагранжа является частным случаем теоремы Коши при.

Определение 3. Будем говорить, что функция имеет конечную производную на, если она имеет конечную производную в, а в точках имеет конечные односторонние производные.

Пусть функция имеет конечную производную на некотором промежутке. Тогда каждой точке можно поставить в соответствие значение, то есть определить функцию:

.

Такая функция будет называться функцией производной.

Теорема (Дарбу). Пусть функция имеет конечную производную на. Тогда для найдется такая точка, что. Иначе это означает, что функция не может иметь разрывов І рода.

Пусть функция имеет конечную производную на некотором промежутке, т.е. на определена функция. Если - функция, она тоже может быть дифференцированной на промежутке.

Определение 4. Производную, определенную раньше, будем называть производной І порядка. Производную от производной І порядка будем называть производной ІІ порядка и обозначать:

.

По индукции можно определить производную любого порядка: производная -го порядка – это производная от функции, которая является производной -го порядка:

.

Пример. Рассматривается функция. Найдем для нее производные высших порядков:

.

Пример. Рассматривается функция. Найдем для нее производные высших порядков:

.

Дата добавления: 2014-01-11