Теорема Ролля

Теорема Дарбу

Теорема Лагранжа. Формула Лагранжа

Теорема Ролля

План

Вопросы

1. Определение точек локального экстремума функции. Привести примеры.

2. Определение точек строгого локального экстремума функции. Привести примеры.

3. Какой будет производная функции в точке локального минимума (максимума)?

4. Геометрический смысл теоремы Ферма.

5. Пусть. Может ли иметь восемь нулей? Может ли иметь семь нулей? Ответ обосновать.

6. Сформулировать и доказать теорему Ролля.

7. Формула Лагранжа. Объяснить, почему теорема Ролля является частным случаем теоремы Лагранжа.

8. Сформулировать и доказать теорему Лагранжа.

9. Геометрический смысл теоремы Лагранжа.

10. Сформулировать и доказать теорему Коши.

11. Объяснить, почему теорема Лагранжа является частным случаем теоремы Коши.

12. Может ли функция выступать в качестве функции производной для некоторой функции? Ответ обосновать.

13. Определение производной -го порядка.

1. Визначення екстремума функції

2. Теорема Ферма та її геометричний зміст

5. Теорема Коші

7. Похідні вищих порядків

1. Визначення екстремума функції

Визначення 1. Нехай функція визначена на. Кажуть, що має локальний максімум (мінімум) в точці, якщо існує такий окіл точки, що для виконується нерівність:

.

Локальний максімум (мінімум) називається строгим, якщо окіл можна обрати так, що для, виконується нерівність:

.

Визначення 2. Точки локального мінімума і локального максімума називаються точками локального екстремума.

Приклад. Розглядається функція (рис.1):

.

За визначенням 2 точки і є точками локального мінімума і локального максімума відповідно.

2. Теорема Ферма та її геометричний зміст

Теорема (Ферма). Нехай функція визначена на і має локальний екстремум в точці. Якщо диференційована в точці, то.

Доказ. Для визначеності будемо вважати, що в точці локальний максімум. Розглянемо різницеве відношення

. (10)

Оскільки диференційована в точці, то існує

. (15)

Для існування границі (15), треба, щоб

, (20)

Але, враховуючи, що в точці локальний максімум, маємо

Тоді рівність (20) можлива лише, коли:

,

тобто.

Диференційованість функції в точці геометрично говоре про існування дотичної до графіка функції в точці, а значення - це тангенс кута нахилу дотичної до додатного напрямку осі ОХ. Таким чином геометрично означає, що дотична до графіка в точці існує, і ця дотична паралельна осі ОХ, а геометричний зміст теореми Ферма полягає в наступному: в точці локального естремума дотична до графіка функції, якщо вона взагалі існує, буде паралельною осі ОХ (рис.2).

Визначення. Нехай функція визначена на. Якщо в кожній точці інтервала функція має похідну, то будемо казати, що диференційована в.

Теорема (Ролля). Нехай функція визначена на і виконуються умови:

1. неперервна на;

2. диференційована в;

3..

Тоді існує точка, що.

Доказ. За другою теоремою Вейєрштрасса оскільки неперервна на, вона досягає на своїх інфімума і супремума. Нехай

,.

Розглянемо два можливі варіанти:

1.. Якщо інфімум і супремум функції співпадають, то, а в буд-якій точці.

2.. Оскільки, то найбільшого чи найменшого свого значення функція досягає в. Припустимо, що в функція досягає супремум. Нехай це відбувається в точці:. В точці функція має локальний максімум, за другою умовою теореми диференційована в точці, тому за теоремою Ферма:, що й потрібно було довести.

Зауваження 1. Якщо припустити, що і не просто рівні, а, то теорему Ролля формулюють інакше: між будь-якими двома нулями диференційованої функції знаходиться хоча б один нуль похідної.

Зауваження 2. Всі умови теореми Ролля є важливими для її виконання.

Перевіримо істинність зауваження 2.

1. Розглянемо функцію (рис.3):

яка визначена на.Ця функція задовольняє всім умовам теореми Ролля, крім умови 1: не є неперервною на, вона має розрив в точці. Це «порушення» приводе до невиконання теореми: в не існує точки, в якій похідна дорівнювала б нулю.

2. Розглянемо функцію (рис.4). Ця функція не задовольняє умові 2 попередньої теореми, бо в точці є недиференційованою. Теорема не виконується: на немає точки, де похідна функції буде дорівнювати 0.

3. Для функції не виконується умова 3, теорема не виконується.

Приклад. Показати, що рівняння має не більше, ніж один дійсний корінь. Позначимо:, тоді. Зрозуміло, що для. Якщо б рівняння мало хоча б 2 дійсних корня, тобто функція мала хоча б 2 нуля, то за теоремою Ролля між ними був би хоча б один нуль похідної, але похідна не має нулів. Таким чином, рівняння має лише один дійсний корінь.

Дата добавления: 2014-01-11