Теорема Дарбу

Теорема Лагранжа. Формула Лагранжа

Теорема (Лагранжа). Нехай функція визначена на і виконуються умови:

1. неперервна на;

2. диференційована в.

Тоді існує точка, що

. (30)

Доказ. Побудуємо допоміжну функцію

.

Коефіцієнт оберемо так, щоб виконувалася умова:. За визначенням функції це еквівалентно:, звідки

,

а.

Для виконані всі умови теореми Ролля, тому існує, що:

,

що й потрібно було довести.

Формулу (30) можна записати в еквівалентному виді:

. (40)

Формула (40) називається формулою Лагранжа.

Зауваження. Теорема Ролля є частковим випадком теореми Лагранжа. Дійсно, якщо до умов 1,2 теореми Лагранжа додати умову, то формула (30) буде мати вигляд:, що відповідає теоремі Ролля.

Геометричний зміст теореми Лагранжа зрозумілий з рис.5: якщо виконуються умови теореми, то знайдеться така точка, що дотична до графіка функція, проведена в точці, буде паралельна січної до графіка, проведеній через точки,.

Рис.5.

5. Теорема Коші

Теорема (Коші). Нехай функції розглядаються на і виконуються умови:

1. неперервні на;

2. диференційовані в;

3. для.

Тоді існує точка, що

. (50)

Доказ. Знаменник в лівій частині формули (50) не дорівнює нулю. Дійсно, якщо припустити, що, то функція задовольняє всім умовам теореми Ролля, а тому для неї знайшлась би така точка, що, що суперечить третій умові теореми.

Побудуємо допоміжну функцію

.

Спробуємо обрати так, щоб. За визначенням функції це еквівалентно:

,

звідки, враховуючи, що, отримаємо

,

а.

Похідна функції визначається наступним чином:

.

Для виконані всі умови теореми Ролля, тому існує, що:

,

що й потрібно було довести.

Зауваження. Теорема Лагранжа є частковим випадком теореми Коші при.

Визначення 3. Будемо казати, що функція має скінченну похідну на, якщо вона має скінченну похідну в, а в точках має скінченні однобічні похідні.

Нехай функція має скінченну похідну на деякому проміжку. Тоді кожній точці можна поставити в співвідношення значення, тобто визначити функцію:

.

Така функція буде називатися функцією похідної.

Теорема (Дарбу). Нехай функція має скінченну похідну на. Тоді для знайдеться така точка, що. Інакше це означає, що функція не може мати розривів І роду.

7. Похідні вищих порядків

Нехай функція має скінченну похідну на деякому проміжку, тобто на визначена функція. Якщо - функція, вона теж може бути диференційованою на проміжку.

Визначення 4. Похідну, визначену раніше, будемо називати похідною І порядку. Похідну від похідної І порядку будемо називати похідною ІІ порядку і позначати:

.

По індукції можна визначити похідну будь-якого порядку: похідна -го порядку – це похідна від функції, яка є похідною -го порядку:

.

Приклад. Розглядається функція. Знайдемо для неї похідні вищих порядків:

.

Приклад. Розглядається функція. Знайдемо для неї похідні вищих порядків:

.

Дата добавления: 2014-01-11