Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Теорема Дарбу




Теорема Лагранжа. Формула Лагранжа

Теорема (Лагранжа). Нехай функція визначена на і виконуються умови:

1. неперервна на;

2. диференційована в.

Тоді існує точка, що

. (30)

 

Доказ. Побудуємо допоміжну функцію

 

.

Коефіцієнт оберемо так, щоб виконувалася умова:. За визначенням функції це еквівалентно:, звідки

 

,

 

а.

 

Для виконані всі умови теореми Ролля, тому існує, що:

 

,

 

що й потрібно було довести.

Формулу (30) можна записати в еквівалентному виді:

 

. (40)

 

Формула (40) називається формулою Лагранжа.

Зауваження. Теорема Ролля є частковим випадком теореми Лагранжа. Дійсно, якщо до умов 1,2 теореми Лагранжа додати умову, то формула (30) буде мати вигляд:, що відповідає теоремі Ролля.

Геометричний зміст теореми Лагранжа зрозумілий з рис.5: якщо виконуються умови теореми, то знайдеться така точка, що дотична до графіка функція, проведена в точці, буде паралельна січної до графіка, проведеній через точки,.

 

Рис.5.

 

5. Теорема Коші

Теорема (Коші). Нехай функції розглядаються на і виконуються умови:

1. неперервні на;

2. диференційовані в;

3. для.

Тоді існує точка, що

. (50)

 

Доказ. Знаменник в лівій частині формули (50) не дорівнює нулю. Дійсно, якщо припустити, що, то функція задовольняє всім умовам теореми Ролля, а тому для неї знайшлась би така точка, що, що суперечить третій умові теореми.

Побудуємо допоміжну функцію

 

.

 

Спробуємо обрати так, щоб. За визначенням функції це еквівалентно:

 

,

 

звідки, враховуючи, що, отримаємо

 

,

 

а.

 

Похідна функції визначається наступним чином:

 

.

 

Для виконані всі умови теореми Ролля, тому існує, що:

 

,

 

що й потрібно було довести.

Зауваження. Теорема Лагранжа є частковим випадком теореми Коші при.

Визначення 3. Будемо казати, що функція має скінченну похідну на, якщо вона має скінченну похідну в, а в точках має скінченні однобічні похідні.

Нехай функція має скінченну похідну на деякому проміжку. Тоді кожній точці можна поставити в співвідношення значення, тобто визначити функцію:

 

.

 

Така функція буде називатися функцією похідної.

Теорема (Дарбу). Нехай функція має скінченну похідну на. Тоді для знайдеться така точка, що. Інакше це означає, що функція не може мати розривів І роду.

 

7. Похідні вищих порядків

Нехай функція має скінченну похідну на деякому проміжку, тобто на визначена функція. Якщо - функція, вона теж може бути диференційованою на проміжку.

Визначення 4. Похідну, визначену раніше, будемо називати похідною І порядку. Похідну від похідної І порядку будемо називати похідною ІІ порядку і позначати:

 

.

 

По індукції можна визначити похідну будь-якого порядку: похідна -го порядку – це похідна від функції, яка є похідною -го порядку:

 

.

 

Приклад. Розглядається функція. Знайдемо для неї похідні вищих порядків:

 

.

 

Приклад. Розглядається функція. Знайдемо для неї похідні вищих порядків:

 

.

 




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-11; Просмотров: 522; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.014 сек.