Погрешности результатов элементарных арифметических операций

Рассмотрим простейшие арифметические операции.

1. При сложении приближенных величин их абсолютные погрешности складываются. Действительно, пусть и - приближенные значения величин и , полученные с абсолютными погрешностями и соответственно, т.е.

,

.

Сложим почленно двойные неравенства, определяющие границы значений для и :

.

Относительная погрешность суммы будет заключена между наибольшей и наименьшей относительными погрешностями слагаемых.

2. При вычитании приближенных величин абсолютная погрешность разности будет равна сумме абсолютных погрешностей уменьшаемого и вычитаемого.

Задание. Доказать истинность предыдущего утверждения.

Относительная погрешность разности приближенных величин будет больше каждой из относительных погрешностей уменьшаемого и вычитаемого.

Если уменьшаемое значительно больше вычитаемого, то относительную погрешность разности можно оценить также, как при сложении, если же уменьшаемое и вычитаемое близки друг к другу, то при вычитании происходит большая потеря верных знаков и рост погрешности. Поэтому там, где это возможно, надо стараться избегать вычитания близких по абсолютной величине чисел. Это иногда удается достичь некоторым преобразованием формулы. Пусть, например, необходимо вычислить площадь, заключенную между двумя окружностями с общим центром, если дан радиус меньшей окружности , а разность радиусов равна (рис.4). Искомая площадь будет определяться формулой:

, (4)

и если - мало, т.е. , то при вычислении по формуле (4) будет иметь место вычитание близких чисел. Во избежание этого воспользуемся известной формулой квадрата суммы:

,

которая позволяет после преобразования уйти от вычитания близких чисел.

Задание. Привести примеры задач, при решении которых присутствует вычитание близких чисел. Преобразовать расчетную формулу так, чтобы вычитание близких чисел ушло.

3. При умножении и делении приближенных величин относительные погрешности складываются.

Дата добавления: 2014-01-11