Понятие о методе конечных разностей

Лекция 3

Понятие о решетчатых функциях. Дискретное преобразование Лапласа и Z преобразование.

Основной метод математического описания функций дискретного аргумента или цифровых функций основан на замене последовательностей реальных импульсов, получаемых за счёт квантования так называемой решетчатой функции, состоящей из идеальных импульсов.

Идеальный импульс – особая функция вида:

Идеальный импульс – это дельта функция, площадь которой равна:

Идеальный квантователь позволяет ввести понятие решетчатой функции, представляющей собой последовательность идеальных импульсов, ордината каждого из которых равна мгновенному значению непрерывного сигнала в момент соответствующего замыкания квантователя, то есть:

При условии что X(t) = 0 для t меньше 0. Отсюда следует, что последовательность импульсов может быть описана:

Решетчатая функция физически не реализуема. Сделана для того, чтобы получить форму, удобную для дальнейших расчётов и для упрощения описания математических аппаратов прохождения сигналов через линейное динамическое звено.

Применим к X(дельта)(t) преобразование Лапласа:

Дискретное преобразование Лапласа:

Свойства сходны со свойствами простого, есть тоже таблица дискретного преобразования.

Пусть X(t) функция вещественного переменного t, для множества равноотстоящих от значения t(0) аргументов

где: К=0, +-1, +-2

t(0) = const

Определим восходящие или левые разности

N – порядок разности, с его помощью можно перейти от ДУ к алгеброическим уравнениям в разностной форме, если рименить следующие приближённые равенства.

Пример: получить разностные уравнения, соответствующие дифференциальным.

Вариант 1

Вариант 2

Ответ

Вывести передаточную функцию фиксирующего элемента (экстраполятор нулевого порядка).

Экстраполятор – математическая модель для восстановления дискретизированного сигнала.

Введение этого элемента позволяет удерживать или фиксировать мгновенное значение сигнала X_kT₀ на периоде T₀ до прихода следующего значения, (X(K+1)T₀). Таким образов на выходе фиксирующего элемента формируется кусочно-непрерывный сигнал, который может быть подан, например, к аналогово-исполнительному механизму.

Другими словами, имеет место экстраполяция мгновенных значений сигнала, отрезками прямых линий, с 0 наклоном.

На вход поступает последовательность импульсов, на выходе формируется ступенчатый сигнал, который равен:

Дискретное преобразование Лапласа примет следующий вид:

Отсюда следует, что передаточная функция передаточного элемента:

Дата добавления: 2014-01-11