Завдання 2. Фірма організує у себе телефонний зв’язок

Фірма організує у себе телефонний зв’язок. Аналітично відомі інтенсивність потоку замовлень l і інтенсивність потоку обслугування m. Необхідно обгрунтувати оптимальну кількість каналів обслугування.

Відомо, що на телефонну станцію надходить в середньому 1.7 замовлень за хвилину. А потік обслугування має інтенсивність 0.5 замовлення за хвилину.

Розв’язання

Дану задачу можливо описати n-канальною системою з відмовами. Граф станів такої системи наведений на рис.6.

Стани системи:

S0 – усі канали вільні;

S1 – зайнятий один канал, інші вільні;

S2 – зайняти два канали, інші вільні;

…

Sn – Зайняти усі n каналів.

Рівняння Колмогорова для такої системи:

p_0*l = p_{1 *}m

p_1*(l+m) = p₀ l + 2*p₂ *m

p_2*(l+2m) = p₁ l + 3* p₃ *m

… … …

p_k*(l+k*m) = p _k-1 l + (k+1) * p_k+1 *m

… … …

p_n-1*(l+(n-1) *m) = p_{n-2 *}l + n * p_n *m

р₀ + р₁ + р₂ +…+ р_n = 1

Розв’яжемо цю систему рівнянь, отримуємо р_0, р₁ , р₂ ,…, р_n.

За умовами задачі l = 1.5, m=0.5. Отже, l / m = 3.4.

Імовірність обслугування замовлення, що надходить, для n каналів визначається за формулою:

Q = 1 – p_n = 1 – p₀ * (l / m)ⁿ/n!

Де

p₀ = (1+l / m +(l / m)² / 2! + (l / m)³ / 3! + … + (l / m)ⁿ / n!)^-1,

p_k = p₀ * (l / m)^k / k!, (k = 1,2,3,…,n).

Середня кількість зайнятих каналів:

N = p₀ * (l / m)(1 – (l / m)ⁿ / n!)

Розрахунки у програмі Mathcad дозволяють побачити, що для двох каналів (n = 2) отримуємо:

- імовірність обслугування замовлення Q = 0.43, що складає 43%;

- при цьму середня кількість зайнятих каналів N = 1.47, що складає 73,5% від всіх трьох каналів;

- відповідно 26,5% замовлень, що надходять у систему, отримують відмову.

Збільшимо кількість каналів обслугування до 3. Отримуємо:

- імовірність обслугування замовлення Q = 0.6, що складає 60%;

- при цьму середня кількість зайнятих каналів N = 2.07, що складає 68,9% від всіх трьох каналів;

- відповідно 31,1% замовлень, що надходять у систему, отримують відмову.

У випадку з 4 каналами Q = 75%, відсоток зайнятих каналів – 63,7%,

у випадку з 5 каналами Q = 85,5%, відсоток зайнятих каналів – 58,1%,

у випадку з 6 каналами Q = 92,4%, відсоток зайнятих каналів – 52,6%.

Підведемо підсумки.

При збільшенні каналів з 2 до 3:

- кількість зайнятих каналів знижується на 4,2%;

- імовірність обслугування зростає на 17%.

При збільшенні каналів з 3 до 4:

- кількість зайнятих каналів знижується на 5,2%;

- імовірність обслугування зростає на 15%.

При збільшенні каналів з 4 до 5:

- кількість зайнятих каналів знижується на 5,6%;

- імовірність обслугування зростає на 10%.

При збільшенні каналів з 5 до 6:

- кількість зайнятих каналів знижується на 5,8%;

- імовірність обслугування зростає на 6,9%.

Аналіз результатів. За результатами розрахунків, ми бачимо в динаміці, що збільшення каналів з 2 до 3 є оптимальним, оскільки при мінімальному зменшенні числа зайнятих каналів спостерігається максимальний приріст імовірності обслугування. Подальше збільшення каналів невигідно із-за їх простоїв.

6. Приклад виконання лабораторної роботи №2

Дата добавления: 2014-01-11