Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Лекція 6, 7. Дії над множинами

Мета:

Основні питання:

1. Перетин множин.

2. Об‘єднання множин.

3. Закони перетину і об‘єднання множин.

4. Доповнення підмножини.

5. Поняття розбиття множин на класи.

6. Задачі, пов‘язані з операціями над скінченими множинами.

7. Декартовий добуток множин.

8. Зображення декартового добутку множин на координатній площині.

I. Перетин множин. З елементів двох і більше множин можна утворити нові множини. Вважають, що ці нові множини являються результатом операцій над множинами. Нехай задані дві множини: і . Утворимо множину С, в яку включимо спільні елементи множин А і В: . Отриману множину С називають перетином множин А і В. Перетином множин А і В називається множина, яка містить тільки ті елементи, які належать множині А і множині В. Позначають і зображають МАЛ. В тому випадку, коли множини А і В не мають спільних елементів, говорять, що їх перетином являється пуста множина. Операція, за допомогою якої знаходять перетин множин, називається перетином. Згідно означенню перетину . Якщо елементи множин А і В перелічені, то щоб знайти їх перетин, достатньо перелічити їх спільні елементи. Якщо множини задані за допомогою характеристичною властивістю, то з означення перетину випливає, що ця характеристична властивість перетину складається з характеристичних властивостей заданих множин за допомогою союзу «і».

II. Об‘єднання множин. Об‘єднанням множин А і В називається множина, яка містить тільки такі елементи, які належать множині А або множині В. позначають і зображають МАЛ. Операція, за допомогою якої знаходять об‘єднання множин, називається об‘єднанням. Згідно означенню об‘єднання . Якщо елементи множин А і В перелічені, то для того, щоб знайти їх об‘єднання, достатньо перелічити елементи, які належать хоча б одній множині. Наприклад, . Якщо ж множини задані за допомогою характеристичної властивості їх елементів, то із означення об‘єднання випливає, що характеристична властивість об‘єднання складається з характеристичних властивостей множин А і В за допомогою союзу «або».

III. Закони перетину і об‘єднання множин. З означень перетину і об‘єднання множин випливає для будь-яких множин А і В справедливість рівностей і , які представляють собою запис комутативного закону для перетину і об‘єднання множин. Для перетину і об‘єднання множин справедливі також асоціативні закони: для будь-яких множин А, В і С виконуються рівності і . Наглядно уявити асоціативний закон можна за допомогою кругів Ейлера, а також провести доведення цих законів. Це пояснює, як знаходити перетин і об‘єднання трьох множин, якщо відомо правило для двох множин. Комутативний і асоціативний закони множин можна розповсюджувати на будь-яку кількість множин. Дистрибутивний закон: для будь-яких множин А, В і С справедливі рівності і . Якщо в виразі існують знаки перетину і об‘єднання і не існує дужок, то спочатку виконують перетин, так як вважають, що операція перетину більш «сильна», ніж об‘єднання.

IV. Доповнення підмножини. Щоб пояснити учням, що 5-2=3, часто використовують такий прийом. Беруть 5 предметів (кружків), після того, як учні впевняться за допомогою рахунку, що кружечків дійсно 5, їм пропонують 2 кружечка прибрати і порахувати, скільки кружечків залишилося – 2. Нехай . Доповненням множини В до множини А називається множина, яка містить ті елементи множини А, які не належать множині В. позначають . Операція, за допомогою якої знаходять доповнення підмножини, називається відніманням. Згідно з означенням доповнення . Якщо елементи множин А і В перелічені, то для того, щоб знайти , достатньо перелічити елементи, які належать А і не належать В. Так, якщо , а , то . В тому випадку, коли вказані характеристичні властивості елементів множин А і В, характеристична властивість множини має вид «». В запису множини нема дужок, тому (вважають, що операція перетину множин являється більш «сильною», ніж віднімання) спочатку виконують перетин множин В і С, а потім отриману множину віднімають з множини А..

V. Поняття розбиття множин на класи. Поняття множини і операцій над множинами дозволяє уточнити наше уявлення про класифікацію. Класифікація – це дія розподілу об‘єктів по класам на основі схожостей об‘єктів в самому класі і їх відмінності від об‘єктів інших класів. Як правило, метою класифікації являється систематизація наших знань. Наприклад, натуральні числа поділяються на парні і непарні; кути бувають гострі, прямі і тупі. Будь-яка класифікація пов‘язана з розбиттям деякої множини на підмножини. Вважають, що множина А розбита на класи , якщо: 1) підмножини , попарно не перетинаються; 2) об‘єднання підмножин співпадає з множиною А. Якщо не виконано хоча б одна з цих умов, класифікацію вважають неправильною. Так, множину трикутників можна розбити на три класи: гострокутні, прямокутні і тупокутні. Але не кожна система підмножин даної множини представляє собою розбиття цієї множини. Наприклад, якщо з множини трикутників виділити підмножини рівнобедрених, рівносторонніх і різносторонніх, то розбиття множини на класи не отримаємо. Щоб виділити підмножину, достатньо вказати характеристичну властивість його елементів. Розглянемо, наприклад, множину натуральних чисел і властивість чисел ділитися на 3. множина розіб‘ється на два класи: числа, кратні 3 і числа, не кратні 3. якщо задати одночасно дві властивості ділитися на 3 і ділитися на 5 дозволяє розбити множину на чотири класи: числа, кратні 3 і 5; числа кратні 3 і не кратні 5; числа, кратні 5 і не кратні 3; числа, не кратні 3 і не кратних 5. Але так відбувається не завжди, дві властивості «бути прямокутним» і «бути тупокутним» множину трикутників розбивають на три класи.

VI. Задачі, пов‘язані з операціями над скінченими множинами. В математиці часто приходиться розв‘язувати задачі, в яких треба визначити число елементів або в множині, або в об‘єднанні множин, або в доповненні підмножин. Існують певні прийоми розв‘язку таких задач. Умовимось позначати число елементів скінченої множини А . Якщо задані скінчені множини А і В, які перетинаються, то кількість елементів в їх об‘єднанні підраховують за формулою . Якщо ж множини А і В не мають спільних елементів, то число елементів в їх об‘єднанні визначають так: . Неважко впевнитися в тому, що якщо і відомо число елементів в множинах А і В, то число елементів в доповненні В до А підраховують за формулою . Розглянемо задачу: «З 40 учнів класу 34 вивчають німецьку мову, 23 – англійську, 17 – і німецьку і англійську. Чи є в класі учні, які не вивчають ні німецьку, ні англійську мови?». Відповідь: нема жодного учня в класі, який би не вивчав іноземні мови.

VI. Декартовий добуток множин.

В початкових класах учні розв’язують задачу: «Використовуючи цифри 1,2,3 утворіть всілякі двозначні числа». Такими являються 11,12,13,21,22,23,31,32,33. такі пари чисел впорядковані (важливий порядок слідування елементів). Впорядковану пару елементів позначають , де - перша координата (компонента), - друга. Дві пари рівні, якщо при . Можна утворити впорядковані пари з елементів різних множин. Наприклад, і , тоді - утворили нову множину.

Декартовим добутком множин А і В називається множина пар, перша компонента якої належить множині А, друга – множині В. Позначають .

Властивості:

1. анти комутативність: .

2. анти асоціативність: .

3. дистрибутивність до об‘єднання: .

Елементи декартового добутку двох скінчених множин зручно записувати за допомогою таблиці. Наприклад, (МАЛЮНОК).

В математиці розглядають впорядковані набори з 3,4,5…елементів, які називають кортежами. Наприклад, (1,5,6) – кортеж довжини 3, (2,0,7,8,9,4) – кортеж довжиною 6.

Декартовим добутком множин називається множина кортежем довжини , які утворені так, що перша координата належить множині , друга - ,…, остання - . Позначають .

Наприклад, , , , тоді .

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Лекція5. Поняття множини | VIII. Зображення декартового добутку множин на координатній площині
Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-11; Просмотров: 2213; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.017 сек.