Решение. Простым подбором можно найти F(x)=ax2+C, где С – любая постоянная функция

Простым подбором можно найти F(x) = ax2 + C, где С – любая постоянная функция.

Проверка

Следовательно, можно предположить, что всякая непрерывная функция имеет множество первообразных, отличающихся постоянной С.

Теорема. Если функция f(x) имеет на промежутке Х первообразную F(x), то и все функции вида F(x) + C, где С – произвольная постоянная функция, будут для нее первообразными на том же промежутке.

Обратно, каждая функция Ф(х), первообразная для f(x) в промежутке Х, может быть представлена в форме Ф(х) = F(x) + C.

Доказательство. По определению первообразной, учитывая, что производная постоянной равна нулю, имеем:

,

Первое предложение теоремы доказано.

Пусть теперь – любая первообразная для f (x) в промежутке Х:

.

Поскольку F (x) – тоже первообразная для f (x), то .

Так как функции Ф (х) и F (x) имеют одну и ту же производную, то они разнятся лишь на постоянную

Ф (х) = F (x) + C.

Теорема доказана.

Определение. Неопределенным интегралом от функции f (x) называется функция вида F (x)+ C, которая имеет производную f (x) или дифференциал f (x) dx:

.

Другими словами: Неопределенный интеграл от функции f (x) −это семейство её первообразных F (x)+ C

f (x) называют подынтегральной функцией, переменную или выражение, стоящее под знаком дифференциала d, называют переменной интегрирования, выражение f (x) dx – подынтегральным выражением.

Сформулируем свойства неопределенного интеграла, вытекающие из его определения.

Дата добавления: 2014-01-11