КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Вычисление ПВИ-1 свидением к ДВИ
Теорема 9.2. (о сведении ПВИ-1 к ДВИ) Вычисление ПВИ-1 от функции F(x,y,z) по поверхности S, задаваемой уравнением z=f(x,y) сводится к вычислению ДВИ по области Sxy- проекции поверхности S на плоскость xOy. По формуле: и умножаем на(3) Вывод: для сведения ПВИ-1 , где S:z=f(x,y) к ДВИ по Sxy нужно в подынтегральную функцию F(x,y,z) подставить вместо z f(x,y), а элемент площади поверх ds заменить на . Замечание! Если поверхность S задается уравнением y=y(x,z) или x=j(y,z), то аналогично получаем формулы для вычисления ПВИ-1: 1) S:y=y(x,z)=> (4) 2)S:x=j(y,z)=> (5) Л.10. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ по КООРДИНАТАМ (ПВИ-2) 10.1. Классификация гладких поверхностей. Выберем на гладкой пов-ти S произвольную точку M. Проведём в ней нормаль к пов-ти и выберем конкретное направление вектора нормали (одно из двух возможных). Опр1. Гладкая пов-ть S наз. двусторонней если при перемещении точки M по произвольному замкнутому контуру, который лежит на этой пов–ти и не пересекает её границу, после этого обхода в направлении нормали не меняется на противоположное. Опр2. Совокупность всех точек пов-ти S для которых выполняется условие двусторонности (выполняется опр1) наз-ся стороной поверхности Опр3. Гладкая пов-ть S наз. односторонней, если на этой пов-ти можно указать хотя бы один замкнутый контур не пересекающей границы этой пов-ти при обходе которого направление нормали меняется на противоположное. Примерами двухсторонних пов-тей явл.: плоскость, сфера, эллипсоид, а также любая пов-ть задающаяся ур-ем z=f(x,y), где f(x,y), f’x(x,y), f’y(x,y) непрерывны в некоторой обл. Sxy – проекции S на пл. xOy. Примером односторонней пов-ти явл. Так называемый лист Мебиуса. Опр4. Двусторонние пов-ти наз. ориентированными пов-тями, а выбор стороны пов-ти(определённый) наз. её ориентированными. Опр5. если определённая сторона пов-ти выбрана(пов-ть сориентирована) то за положительное направление обхода замкнутого контура, расположенного на пов-ти S, считается то, при котором для наблюдателя, расположенного в конце вектора нормали обход этого контура осуществляется против часовой стрелки(противоположное направление обхода) наз. отрицательным. Если изменить ориентацию пов-ти на противоположную, то положительное и отрицательное направления обхода меняются местами. 10.2. ПВИ-2: определение, теорема существования. Пусть S гладкая двусторонняя пов-ть определяемая ур-ем z=f(x,y), ограниченная замкнутой линией L в точках которой определена функция трёх переменных R=R(x,y,z). Выберем определённую сторону этой пов-ти. Выполняем следующие стандартные действия: 1)Разобьем пов-ть S на n частичных пов-ей dI =(i=) l - диаметр разбиения 2)Выберем произвольную т. Mi (xi, yi, zi)dI и составляем сумму: (1) где - площадь проекции i-й элементарной площадки di на пл. xOy, взятая со знаком «+», если выбранная внешняя сторона пов-ти или что тоже самое угол между вектором нормали к этой пл-ти и осью Oz – острый ; и взятая со знаком «-» если выбранная нижняя сторона пов-ти, т.е. угол между вектором нормали и осью Oz – тупой. Если существует конечный предел интегральной суммы (1) при , то он наз. поверхностным интегралом по выбраной стороне S от функции R(x, y, z) по координатам(переменным) x и y и обозначается (2) Таким образом (2) Аналогично определяется ПВИ-2 по координатам x и z от функции Q=Q(x, y, z), если пов-ть S задана ур-ем (3) А также ПВИ-2 по координатам y и z от функции P=P(x, y, z), если S: x=j(x, y)
(4) если во всех точках пов-ти S опрделены все 3 функции P, Q, R и существуют интегралы (2), (3), (4); то сумма этих интегралов наз. ПВИ-2 общего вида т.е. (5)
Дата добавления: 2014-01-11; Просмотров: 349; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |