Вычисление ПВИ-2

Теорема 10.2. (о сведении ПВИ-2, к ДВИ)

Вычисление ПВИ-2: по той или иной стороне пов-ти S, задаваемой уравнением S: z=f(x, y).

Свод ДВИ по области S_xy – проекцией пов-ти S на пл-ть xOy по формуле:

(6)

где знак «+» выбирается в зависимости от выбранной стороны пов-ти S

Доказательство.

По определению (7)

Выберем ту сторону пов-ти S, где нормаль к ней образует с осью Oz острый угол, т.е. тогда >0.

При этом учтём, что z_i = f(x_i, y_i), тогда (7) запишется ввиде = (8)

равно пределу интегральной суммы функции двух переменных R(x, y), f(x, y)

Если же выбрать другую сторону пов-ти, т.е. нижнюю, то и <0, тогда ПВИ-2 от функции (9)

Объединяя формулы (8),(9) окончательно получим:

(10)

Вывод: Для сведения ПВИ-2

, где S: z=f(x, y) к ДВИ по обл. S_xy – проекции S на пл-ть xOy нужно в подинтегральную функцию вместо первой z подставить f(x, y) и выбрать знак ДВИ согласно с выбранной в ПВИ-2 стороной пов-ти S.Аналогично: y=y(x, y) => (11)

x=j(y,z) => (12)

В формулах (10)-(12) знак перед двойным интегралом выбирается по следующему правилу:

(10): «+», если - острый; «-», если - тупой

(11): «+», если - острый; «-», если - тупой

(12): «+», если - острый; «-», если - тупой

ПВИ общего вида вычисляется с использованием всех трёх формул (10)-(12) и при этом пов-ть S проецируется на каждую из трёх координатных плоскостей.

Дата добавления: 2014-01-11