Функция распределения и ее свойства. Функция распределения дискретной случайной величины

Закон распределения дискретной случайной величины. Многоугольник распределения

Пусть X - д. с. в., которая принимает значения х₁, x₂, x₃,…, x_n,….
(множество этих значений конечно или счетно) с некоторой вероятностью р_i, где i = 1, 2, 3,…,n,…. Закон распределения д. с. в. удобно задавать с помощью формулы р_i = Р{ X = x_i}, i = 1,2,3,…, n,…, определяющей вероятность того, что в результате опыта с. в. X примет значение x_i. Для д. с. в. X закон распределения может быть задан в виде таблицы распределения:

X	x1	x2	…	xn	…
P	p1	p2	…	pn	…

где первая строка содержит все возможные значения (обычно в порядке возрастания) с. в., а вторая — их вероятности. Такую таблицу называют рядом распределения.

Так как события {X = х₁}, {X = x₂} … несовместны и образуют
полную группу, то сумма их вероятностей равна единице (см. п. 1.12), т. е..

Закон распределения д. с. в. можно задать графически, если на оси
абсцисс отложить возможные значения с. в., а на оси ординат — вероятности этих значений. Ломаную, соединяющую последовательно точки
(x₁,р₁), (x₂,;p₂),... называют многоугольником (или полигоном) распределения (см. рис. 17).

Рис. 17

Теперь можно дать более точное определение д. с. в.

Случайная величина X дискретна, если существует конечное или
счетное множество чисел х₁, x₂, … таких, что Р{X = x_i,} = p_i > 0
(i = 1, 2, …) и р₁ +р₂ + р₃ + … = 1.

Определим математические операции над дискретными с. в.

Суммой (разностью, произведением) д. с. в. X, принимающей значения x_i с вероятностями р_i = Р{ X = х_i}, i = 1, 2, …,n и д. с. в. У. принимающей значения y_j с вероятностями pj = Р{У = y_j}, j = 1, 2, …, m, называется д. с. в. Z = X + У (Z = X – У, Z = X · У), принимающая
значения z_ij = x_i + y_j (z_ij = x_i – y_j, z_ij = x_i · y_j) с вероятностями
p_ij = P{X=x_i, Y=y_j} для всех указанных значений i и j. В случае

совпадения некоторых сумм x_i + y_j (разностей x_i – y_j, произведений
x_iy_j) соответствующие вероятности складываются.

Произведение д. с. в. на число с называется д. с. в. сХ, принимающая
значения cx_i с вероятностями р_i = P{X=x_i}.

Две д. с. в. X и У называются независимыми, если события
{X = x_i,} = A_i и {У = y_i} = B_j независимы для любых i = 1, 2,…, n;

j = 1,2,…,m, т.е.

В противном случае с. в. называются зависимыми. Несколько с. в. называются взаимно независимыми, если закон распределения любой из них не зависит от того, какие возможные значения приняли остальные величины.

Пример 2.1. В урне 8 шаров, из которых 5 белых, остальные — черные. Из нее вынимают наудачу 3 шара. Найти закон распределения числа белых шаров в выборке.

О Возможные значения с. в. X — числа белых шаров в выборке есть
х₁ = 0, x₂ = 1, x₃ = 2, x₄ = 3. Вероятности их соответственно будут

Закон распределения запишем в виде таблицы.

X
P	1/56	15/56	30/56	10/56

(Контроль:)

Очевидно, ряд распределения с. в. может быть построен только для
д. с. в.; для н. с. в. нельзя даже перечислить все ее возможные значения. Кроме того, как увидим позже (п. 2.3, 2.4), вероятность каждого отдельно взятого значения н. с. в. равна нулю! Представим себе вероятность того, что рост мужчины — н. с. в. — точно равен метров; купленная нами лампа проработает — н. с. в. — ровно 900 часов;.... Удивительно интересный факт: событие возможное, но имеет нулевую вероятность.

Для характеристики поведения н. с. в. целесообразно использовать
вероятность события {X < х} (а не {X = х}), где х — некоторое действительное число. С точки зрения практики нас мало интересует событие, состоящее, например, в том, что лампочка проработает ровно 900 часов, т. е. X = 900. Более важным является событие вида {X < 900} (или {X > 900}). Такое событие имеет ненулевую вероятность; при изменении х вероятность события {X < х} в общем случае будет меняться. Следовательно, вероятность Р {X < x} является функцией от х.

Универсальным способом задания закона распределения вероятностей, пригодным как для дискретных, так и для непрерывных случайных величин, является ее функция распределения, обозначаемая F_x(х) (или просто F(x), без индекса, если ясно, о какой с. в. идет речь)

Функцией распределения с. в. X называется функция F(х), которая для любого числа x є R равна вероятности события {X < х}.

Таким образом, по определению

(2.1)

Функцию Р(х) называют также интегральной функцией распределения.

Геометрически равенство (2.1) можно истолковать так: F(х) есть
вероятность того, что с. в. X примет значение, которое изображается
на числовой оси точкой, лежащей левее точки х, т. е. случайная точка
X попадет в интервал (–∞,x), см. рис. 18.

Рис. 18

Функция распределения обладает следующими свойствами:

F(x) ограничена, т. е.

F(x) - неубывающая функция на R, т. е. если х₂ > х₁, то

F(x) обращает в ноль на минус бесконечности и равна единице в
плюс бесконечности, т. е.

Вероятность попадания с. в. X в промежуток [a, b) равна приращению ее функции распределения на этом промежутке, т. е.

(2.2)

F(x) непрерывна слева, т. е.

1. Первое свойство следует из определения (2.1) и свойств вероятности (п. 1.11, 1.12).

Пусть А = {X < x₁}, В = {X < х₂}. Если х₁ < х₂, то событие А влечет событие В (п. 1.4), т. е. А С В. Но тогда согласно свойству 4 (п. 1.12), имеем т. е. } или

Геометрически свойство 2 очевидно: при перемещении точки х
вправо по числовой оси вероятность попадания случайной точки X в
интервал (–∞, х) не может уменьшаться.

Третье свойство вытекает непосредственно из того, что
{X < –∞} = Ø, а {X < +∞} =Ω; согласно свойствам вероятности
(п. 1.11, 1.12), имеем: F(–∞) = Р{Х < –∞} = Р{Ø} = 0, F(+∞) =
= Р{Х < +∞} = Р{Ω} = 1.

Так как а < b, то очевидно, что
(это хорошо видно на рис. 19).

Так как слагаемые в правой части несовместные события, то
по теореме сложения вероятностей (п. 1.11) получаем Р{Х < b} =
= Р{Х < а} + Р{а ≤ X < b}. Отсюда следует

Свойство 5 проиллюстрируем далее на примере 2.2.

Рис. 19

Всякая функция F(x), обладающая свойствами 1–3, 5, может быть
функцией распределения некоторой случайной величины.

Заметим, что формула (2.2) (свойство 4) справедлива и для н. с. в.,
и для д. с. в.

С помощью функции распределения можно вычислить вероятность
события {X ≥ х}:

(2.3)

Можно дать более точное определение н. с. в.

Случайную величину X называют непрерывной, если ее функция
распределения непрерывна в любой точке и дифференцируема всюду,
кроме, может быть, отдельных точек.

Используя свойство 4 можно показать, что «вероятность того, что
н. с. в. X примет заранее указанное определенное значение а, равна нулю».

Действительно, применим формулу (2.2) к промежутку
Будем неограниченно приближать точку ж
к а. Так как функция непрерывна в точке а, то. В пределе получим. Если функция F(x) везде непрерывна, то вероятность каждого отдельного
значения с. в. равна нулю.

Следовательно, для н. с. в. справедливы равенства

.

Действительно,

и т.д.

Функция распределения д. с. в. имеет вид

(2.4)

Здесь суммирование ведется по всем i, для которых x_i < х. Равенство (2.4) непосредственно вытекает из определения (2.1).

Пример 2.2. По условию примера 2.1 (п. 2.2) найти функцию распре-
деления F(x) и построить ее график.

Будем задавать различные значения х и находить для них

Если х ≤ 0, то, очевидно, F{x) = Р{Х < 0} = 0;

1.Если

2.Если

3.Если

4.Если

Итак,

Строим график F(x), рис. 20.

Как видим, функция распределения д. с. в. X есть разрывная, со
скачками р_i, в точках x_i, функция, «непрерывная слева» (при подходе
к точке разрыва слева функция F(х) сохраняет значение). Ее график
имеет ступенчатый вид.

Отметим, что, пользуясь равенством (2.4), функцию распределения
можно сразу записать в виде (2.5)

Дата добавления: 2014-01-11