Мода и медиана. Моменты случайных величин. Асимметрия и эксцесс. Квантили

Среднее квадратическое отклонение

Свойства дисперсии.

Дисперсия

Дисперсией (рассеянием) с. в. X называется математическое ожи-

дание квадрата ее отклонения от своего математического ожидания.

Обозначается дисперсия через DХ (или D[X]. Dх, D(Х)). Таким
образом, по определению

= М(Х — МХ), (2.12)

или DХ = МХ, или DХ = М(Х — mx). Дисперсия характеризует
разброс значений с. в. X относительно ее м. о. Из определения диспер-
сии следуют формулы для ее вычисления:

ОХ = для д.с.в. Х, (2.13)

ОХ = - для н.с. в. X. (2.14)

На практике дисперсию с. в. удобно находить по формуле

ВХ = МХ — (МХ). (2.15)

Она получается из формулы (2.12): 1)Х = М(X — 2Х * МX + (МX)) =
= МХ — М(2Х * МХ) + М(МХ) = МХ — 2МХ * МХ + (МХ) =
= МХ — (МХ).

Это позволяет записать формулы для ее вычисления ((2.13) и
(2.14)) в другом виде:

, (2.16)

. (2.17)

1. Дисперсия постоянной равна нулю. т. е.

Dc=0

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возве-
дя его в квадрат, т. е.

DcX=c DX

3. Дисперсия суммы независимых с. в. равна сумме их дисперсий, т. е.
если X и У независимы, то

D(Х + У) = DХ + DУ.

4. Дисперсия с. в. не изменится, если к этой с. в. прибавить постоян-
ную, т. е.

D(Х + с) = DХ.

5. Если с. в. X и У независимы, то

D (ХУ) = МХ * МУ

1. Dс = М(

2.DсX=

Используя формулу (2.15), получаем

D(Х+У)=М(X+У) (М(Х+У)) =МХ2 +2MXY+MY

Отметим, что если с. в. X и У зависимы, то

D(Х + У) = DХ + DУ + 2М((Х —­ МХ) * (У — МУ)).

4. D(с + X) = М((с + X) — М(с + X)) = М(Х — МХ) = DХ.
Доказательство свойства 5 не приводим.

Свойства дисперсии, доказанные выше для дискретных случайных
величин, остаются справедливыми и для непрерывных с. в.

Дисперсия ОХ имеет размерность квадрата с. в. X, что в сравни-
тельных целях неудобно. Когда желательно, чтобы оценка разброса
(рассеяния) имела размерность с. в., используют еще одну числовую
характеристику — среднее квадратическое отклонение (сокращенно:
с. к. о.).

Средним квадратическим, отклонением или стандартным откло-
нением с. в. X называется квадратный корень из ее дисперсии, обозна-
чают через (или). Таким образом, по определению

(2.18)

Из свойств дисперсии вытекают соответствующие свойства с. к. о.:

Для изучения свойств случайного явления, независящих от выбо-
ра масштаба измерения и положения центра группирования, исходную
случайную величину X приводят к некоторому стандартному виду: ее
центрируют, т. е. записывают разность X — МХ (геометрически озна-
чает, что начало координат переносится в точку с абсциссой, равной
м. о.), затем делят на с. к. о..

Случайную величину Z = называют стандартной слу-

чайной величиной. Ее м. о. равно 0, а дисперсия равна 1. Действительно,

MZ=M

DZ=

То есть Z — центрированная (МZ = 0) и нормированная. (D7 = 1)
случайная величина.

Пример 2.5. Д. с. в. X задана рядом распределения.

X	-1
р	0,2	0,1	0,3	0,4

Найти МХ, DХ,

Используем формулы (2.9), (2.13), (2.18): МХ = —1 * 0,2 + 0 * 0,1 +
+ 1*0,3+2*0,4 = 0,9; DХ = (—1—0,9) *0,2 + (0—0,9) *0,1 + (1—0,9) *0,3+
+ (2—0,9) *0,4 = 1,29 (или, используя формулу (2.16), DХ = (—1) *0,2+
+ 0 * 0,1 + 1 * 0,3 + 2 * 0,4 — (0,9) = 1,29); =

Модой д. с. в. X называется ее значение, принимаемое с наибольшей
вероятностью по сравнению с двумя соседними значениями, обознача-
ется через М Х. Для н.с. в. М Х — точка максимума (локального)

ПЛОТНОСТИ f (x).

Если мода единственна, то распределение с. в. называется унимо-
дальным, в противном случае — полимодалъным (рис. 23).

Медианой М Х н.с.в. X называется такое ее значение x, для ко-
торого

Р{Х < х } = Р{Х > х } =, (2.19)

т. е. одинаково вероятно, окажется ли с. в. X меньше х или больше х
(рис. 23).

С помощью функции распределения F(х) равенство (2.19) можно
записать в виде Р(М Х) = 1 — f(М Х). Отсюда F(М Х) =.

Для д. с. в. медиана обычно не определяется.

Математическое ожидание и дисперсия являются частными случа-
ями следующих более общих понятий - моментов с. в.

Начальным моментом порядка к с. в. X называется м. о. к-й сте-
пени этой величины, обозначается через.

Таким образом, по определению

= М(Х).

Для д. с. в. начальный момент выражается суммой:

а для н. с. в. — интегралом:

.

В частности, = МX, т. е. начальный момент 1-го порядка есть м. о.

Центральным моментом порядка к с. в. X называется м. о. вели-
чины (X — МХ), обозначается через.

Таким образом, по определению

= М(Х — МХ)

В частности, = DХ, т. е. центральный момент 2-го порядка есть
дисперсия; = М(X — МХ) = 0 (см. свойство 4 м. о.).

Для д. с. в.:

а для н. с. в.:

Центральные моменты могут быть выражены через начальные
моменты. Так, (действительно:; и т.д.

Среди моментов высших порядков особое значение имеют цен-
тральные моменты 3-го и 4-го порядков, называемых соответственно
коэффициентами асимметрии и эксцесса.

Коэффициентом, асимметрии («скошенности») А с. в. X называ-
ется величина

Если А > 0, то кривая распределения более полога справа от Х
(рис. 24).

Если А < 0, то кривая распределения более полога слева от Х
(рис. 25).

Коэффгициентом эксцесса («островершинности») Е с. в. X назы-
вается величина

Рис. 25

Величина Е характеризует островершинность или плосковершин-
ность распределения. Для нормального закона распределения (см.
п. 2.7) А = 0 и Е = 0; остальные распределения сравниваются с нор-
мальным: если Е > 0 - более островершинные, а распределения «плос-
ковершинные» имеют Е < 0 (рис. 26).

Кроме рассмотренных выше числовых характеристик с. в., в при-
ложениях используются так называемые квантили.

Квантилъю уровня р с. в. X называется решение уравнения

,

где р — некоторое число, 0 < р < 1.

Квантили и имеют свои названия: нижняя квартиль,
медиана (Х =), верхняя квартиль соответственно. Они делят
числовую прямую на 4 части, вероятности попадания в которые равны
0,25 (рис. 27).

Дата добавления: 2014-01-11