Плотность распределения и ее свойства

Важнейшей характеристикой непрерывной случайной величины
(помимо функции распределения) является плотность распределения
вероятностей. Напомним (см. п. 2.3), что: с. в. X называется непрерывной, если ее функция распределения непрерывна и дифференцируема
всюду, кроме, быть может, отдельных точек.

Плотностью распределения вероятностей (плотностью распределения., плотностью вероятностей или просто плотностью) непрерывной случайной величины X называется производная ее функции распределения.

Обозначается плотность распределения н.с. в. X через (или
pх(х)) или просто f(x) (или р(х)), если ясно о какой с. в. идет речь.
Таким образом, по определению

(2.6)

Функцию f(x) называют также дифференциальной функцией распределения; она является одной из форм закона распределения случайной
величины, существует только для непрерывных случайных величин.

Установим вероятностный смысл плотности распределения. Из
определения производной следует

Но согласно формуле (2.2),.

Отношение представляет собой среднюю вероятность, которая приходится на единицу длины участка т. е.
среднюю плотность распределения вероятности. Тогда

т. е. плотность распределения есть предел отношения вероятности по­ падания с. в. в промежуток [х; х + D х) к длине 6х этого промеж утка, когда 6х стремится к нулю. Из равенства (2.7) следует, что

Р {х ≤ Х < х + Dх} ≈ f(x) D x

То есть плотность вероятности определяется как функция f(x), удо­ влетворяющая условию Р {х ≤ Х < х + dх} ≈ f(x) d x; выражение f(x) dx называется элементом вероятности.

Отметим, что плотность f(x) аналогична таким понятиям, как
плотность распределения масс на оси абсцисс или плотность тока в
теории электричества.

Плотность распределения обладает следующими свойствами:

1. f(x) неотрицательная, т. е.

2. Вероятность попадания н. с. в. в промежуток [а;b] равна определен-
ному интегралу от ее плотности в пределах от а до b, т. е.

Р{а ≤ X ≤ b} = f(x) dx. (2.8)

3. Функция распределения н. с. в. может быть выражена через ее
плотность вероятности по формуле

F(x)= f(t) dt.

4. Условие нормировки: несобственный интеграл от плотности веро-
ятности н. с. в. в бесконечных пределах равен единице, т. е.

f{x)dx = 1.

□ 1. Плотность распределения f(x) — неотрицательная функция:

F(x) — неубывающая функция (п. 2.3), следовательно, F'(x)≥0, т. е.
f(x) 0. Это означает, что график плотности f(x), называемый кривой
распределения, не ниже оси абсцисс; плотность может принимать сколь
угодно большие значения.

2. Так как F(x) есть первообразная для плотности f(x), то по фор-
муле Ньютона-Лейбница имеем

f(x)dx = F(b) — F(a).

Отсюда в силу свойства 4 функции распределения (формула (2.2)), по-
лучаем

f(x) dx = Р{а X b}.

Геометрически эта вероятность равна площади Б фигуры, ограничен-
ной сверху кривой распределения /(ж) и опирающейся на отрезок [а; 6]
(рис. 21).

3. Используя свойство 2, получаем:

F(x) = Р{Х < х} = Р{ <Х < х}= f(x) dx = f(t) dt

(буква t, для ясности).

4. Полагая в формуле (2.8) а = и b =, получаем достовер-
ное событие X € (;). Следовательно,

f(x) dx = Р{ < X < } = P{ } = 1.

Геометрически свойство нормировки означает, что площадь фигуры,
ограниченной кривой распределения f(x) и осью абсцисс, равна еди-
нице.

Можно дать такое определение непрерывной случайной величины:
случайная величина X называется непрерывной, если существует не-
отрицательная функция f(x) такая, что при любом х функцию распре-
деления F(x) можно представить в виде

F(x) = f(t)dt.

А затем получить, что f(x) = F'(x). Отсюда следует, что F(x) и f(x)
являются эквивалентными обобщающими характеристиками с. в. X.

Как отмечалось ранее (п. 2.3) для н. с. в. X, вероятность события
{X = с}, где с — число, равна нулю. Действительно.

Р{Х = с} = Р{с Х с} = f(x) dx =0

Отсюда также следует, что

Р{Х [a; b)} = Р{Х [a; b]} = Р{Х (а;Ь)}.

Пример 2.3. Плотность распределения с. в. X задана функцией

f(x)=
Найти значение параметра а.

Согласно свойству 4 плотности, имеем

dx=1, т.е a lim d +, c - =1,

т.е a lim d +, c - arctg x | =1

или a* ()=1 и, наконец, получаем a* = 1, т.е a=

Дата добавления: 2014-01-11