Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Функции нескольких переменных




Необходимые условия дифференцируемости

Теорема 3.2. Если функция нескольких переменных, дифференцируемая в некоторой точке, то она непрерывна в этой точке.

Д о к а з а т е л ь с т в о. По определению, функция является непрерывной, если . Найдем

.

Следовательно, непрерывная.

Теорема 3.3. Если функция нескольких переменных, дифференцируемая в точке, то она имеет частные производные в этой точке.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть дифференцируемая.

Если y = const, то D y = 0. Тогда .

Если x = const, то D x = 0. Тогда

.

Утверждения, обратные утверждениям теорем 3.2 и 3.3, вообще говоря, неверны. Не дифференцируемыми могут быть функции нескольких переменных, которые являются непрерывными или которые имеют конечные частные производные. Приведем примеры.

Пример 3.9. Функция непрерывна в точке О (0,0). Покажем, что она не является дифференцируемой. в этой точке, от противного. Если бы она была дифференцируемой, то имела бы частные производные в этой точке (теорема 3.2). Покажем, что частные производные в точке О (0,0) не существуют.

Следовательно, не существует. Аналогично получаем, что также не существует.

 

Пример 3.10. Покажем, что функция имеет частные производные в точке O (0, 0), но не является дифференцируемой.

Находим , . Следовательно, частные производные функции в начале координат существуют.

Покажем, что функция не является непрерывной в начале координат. Найдем предел этой функции при (точка M (x, y) стремится к началу координат O (0, 0) по биссектрисе координатного угла)

.

Однако, заданная функция в точке O (0, 0) принимает значение равное нулю , не равняется предельному значению, равному 1. Функция не является непрерывной, а следовательно не является дифференцируемой.

Пример 3.11. Покажем, что функция является не дифференцируемой.

Данная функция является непрерывной в точке O (0, 0), так как

.

Также эта функция имеет частные производные в точке O (0, 0):

,

.

Однако, невозможно приращение функции представить в виде линейного выражения относительно и как это требуется для дифференцируемости функции. Следовательно, функция не дифференцируемая.

 




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-11; Просмотров: 362; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.008 сек.