Функции нескольких переменных

Необходимые условия дифференцируемости

Теорема 3.2. Если функция нескольких переменных, дифференцируемая в некоторой точке, то она непрерывна в этой точке.

Д о к а з а т е л ь с т в о. По определению, функция является непрерывной, если . Найдем

.

Следовательно, непрерывная.

Теорема 3.3. Если функция нескольких переменных, дифференцируемая в точке, то она имеет частные производные в этой точке.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть дифференцируемая.

Если y = const, то D y = 0. Тогда .

Если x = const, то D x = 0. Тогда

.

Утверждения, обратные утверждениям теорем 3.2 и 3.3, вообще говоря, неверны. Не дифференцируемыми могут быть функции нескольких переменных, которые являются непрерывными или которые имеют конечные частные производные. Приведем примеры.

Пример 3.9. Функция непрерывна в точке О (0,0). Покажем, что она не является дифференцируемой. в этой точке, от противного. Если бы она была дифференцируемой, то имела бы частные производные в этой точке (теорема 3.2). Покажем, что частные производные в точке О (0,0) не существуют.

Следовательно, не существует. Аналогично получаем, что также не существует.

Пример 3.10. Покажем, что функция имеет частные производные в точке O (0, 0), но не является дифференцируемой.

Находим , . Следовательно, частные производные функции в начале координат существуют.

Покажем, что функция не является непрерывной в начале координат. Найдем предел этой функции при (точка M (x, y) стремится к началу координат O (0, 0) по биссектрисе координатного угла)

.

Однако, заданная функция в точке O (0, 0) принимает значение равное нулю , не равняется предельному значению, равному 1. Функция не является непрерывной, а следовательно не является дифференцируемой.

Пример 3.11. Покажем, что функция является не дифференцируемой.

Данная функция является непрерывной в точке O (0, 0), так как

.

Также эта функция имеет частные производные в точке O (0, 0):

,

.

Однако, невозможно приращение функции представить в виде линейного выражения относительно и как это требуется для дифференцируемости функции. Следовательно, функция не дифференцируемая.

Дата добавления: 2014-01-11