Основные свойства статистических характеристик параметров распределения

Получив статистические оценки параметров распределения (выборочное среднее, выбороч-ную дисперсию и т.д.), нужно убедиться, что они в достаточной степени служат приближе-нием соответствующих характеристик генеральной совокупности. Определим требования, которые должны при этом выполняться.

Пусть Θ* - статистическая оценка неизвестного параметра Θ теоретического распределения. Извлечем из генеральной совокупности несколько выборок одного и того же объема п и вычислим для каждой из них оценку параметра Θ: Тогда оценку Θ* можно рассматривать как случайную величину, принимающую возможные значения Если математическое ожидание Θ* не равно оцениваемому параметру, мы будем получать при вычислении оценок систематические ошибки одного знака (с избытком, если М (Θ*) >Θ, и с недостатком, если М (Θ*) < Θ). Следовательно, необходимым условием отсутствия систематических ошибок является требование М (Θ*) = Θ.

Определение. Статистическая оценка Θ* называется несмещенной, если ее математическое ожидание равно оцениваемому параметруΘ при любом объеме выборки:

М (Θ*) = Θ. (1)

Смещенной называют оценку, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру.

Однако несмещенность не является достаточным условием хорошего приближения к истинному значению оцениваемого параметра. Если при этом возможные значения Θ* могут значительно отклоняться от среднего значения, то есть дисперсия Θ* велика, то значение, найденное по данным одной выборки, может значительно отличаться от оцениваемого параметра. Следовательно, требуется наложить ограничения на дисперсию.

Определение. Статистическая оценка называется эффективной, если она при заданном объеме выборки п имеет наименьшую возможную дисперсию.

При рассмотрении выборок большого объема к статистическим оценкам предъявляется еще и требование состоятельности.

Определение 3. Состоятельной называется статистическая оценка, которая при п →∞ стремится по вероятности к оцениваемому параметру (если эта оценка несмещенная, то она будет состоятельной, если при п →∞ ее дисперсия стремится к 0).

Убедимся, что представляет собой несмещенную оценку математического ожидания М (Х).

Будем рассматривать как случайную величину, а х ₁, х ₂,…, х_п, то есть значения исследуемой случайной величины, составляющие выборку, – как независимые, одинаково распределенные случайные величины Х ₁, Х ₂,…, Х_п, имеющие математическое ожидание а. Из свойств математического ожидания следует, что

Но, поскольку каждая из величин Х ₁, Х ₂,…, Х_п имеет такое же распределение, что и генеральная совокупность, а = М (Х), то есть М () = М (Х), что и требовалось доказать. Выборочное среднее является не только несмещенной, но и состоятельной оценкой математического ожидания. Если предположить, что Х ₁, Х ₂,…, Х_п имеют ограниченные дисперсии, то из теоремы Чебышева следует, что их среднее арифметическое, то есть , при увеличении п стремится по вероятности к математическому ожиданию а каждой их величин, то есть к М (Х). Следовательно, выборочное среднее есть состоятельная оценка математического ожидания.

В отличие от выборочного среднего, выборочная дисперсия является смещенной оценкой дисперсии генеральной совокупности. Можно доказать, что

, (2)

где D_Г – истинное значение дисперсии генеральной совокупности. Можно предложить другую оценку дисперсии – исправленную дисперсию s ², вычисляемую по формуле

. (3)

Такая оценка будет являться несмещенной. Ей соответствует исправленное среднее квадратическое отклонение

. (4)

Определение 4. Оценка некоторого признака называется асимптотически несмещенной, если для выборки х ₁, х ₂, …, х_п

, (5)

где Х – истинное значение исследуемой величины.

Дата добавления: 2014-01-11