КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Линейная оболочка системы векторов
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОДПРОСТРАНСТВА ПРИМЕРЫ ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВ
1. Множество многочленов Pn (x) степени не выше n. 2. Множество n -членных последовательностей (с почленным сложением и умножением на скаляр). 3. Множество функций C [ а, b ] непрерывных на [ а, b ] и с поточечным сложением и умножением на скаляр. 4. Множество функций, заданных на [ а, b ] и обращающихся в 0 в некоторой фиксированной внутренней точке c: f (c) = 0 и с поточечными операциями сложения и умножения на скаляр. 5. Множество R+, если x ⊕ y º x ´ y, a⊙ x º x a.
Пусть множество W является подмножеством линейного пространства V (W Ì V) и такое, что а) " x, y Î W Þ x ⊕ y Î W; б) " x Î W, "aÎK Þ a ⊙ x Î W. Операции сложения и умножения здесь те же, что и в пространстве V (они называются индуцированными пространством V). Такое множество W называется подпространством пространства V. 7°. Подпространство W само является пространством. ◀ Для доказательства достаточно доказать существование нейтрального элемента и противоположного. Равенства 0⊙ x = q и (–1)⊙ х = – х доказывают необходимое. ▶ Подпространство, состоящее только из нейтрального элемента {q}и подпространство, совпадающее с самим пространством V, называются тривиальными подпространствами пространства V. § 9. ЛИНЕЙНАЯ КОМБИНАЦИЯ ВЕКТОРОВ.
Пусть векторы e 1, e 2, … en Î V и a1, a2, … a n ÎK. Вектор x = a1 e 1 + a2 e 2 + … + a nen = называется линейной комбинацией векторов e 1, e 2, …, en с коэффициентами a1, a2, … a n. Если все коэффициенты в линейной комбинации равны нулю, то линейная комбинация называется тривиальной. Множество всевозможных линейных комбинаций векторов называется линейной оболочкой этой системы векторов и обозначается:
ℒ(e 1, e 2, …, en) = ℒ. 8°. ℒ(e 1, e 2, …, en) является линейным пространством. ◀ Корректность операций сложения и умножения на скаляр следует из того, что ℒ(e 1, e 2, …, en) – это множество всевозможных линейных комбинаций. Нейтральный элемент – это тривиальная линейная комбинация. Для элемента х = противоположным является элемент – x =. Аксиомы, которым должны удовлетворять операции, также выполнены. Таким образом, ℒ(e 1, e 2, …, en) является линейным пространством. Любое линейное пространство содержит в себе в, общем случае, бесконечное множество других линейных пространств (подпространств) – линейных оболочек ▶
В дальнейшем мы постараемся ответить на следующие вопросы: Когда линейные оболочки разных систем векторов состоят из одних и тех же векторов (т.е. совпадают)? 2) Какое минимальное число векторов определяет одну и ту же линейную оболочку? 3) Является ли исходное пространство линейной оболочкой некоторой системы векторов?
Дата добавления: 2014-01-11; Просмотров: 1034; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |