Полные системы векторов

Если в пространстве V существует конечный набор векторов такой что, ℒº V, то система векторов называется полной системой в V, а пространство называется конечномерным. Таким образом, система векторов e ₁, e ₂, …, e_n Î V называется полной в V системой, т.е. если

" х Î V $ a₁, a₂, … a _n ÎK такие, что x = a₁ e ₁ + a₂ e ₂ + … + a _ne_n.

Если в пространстве V не существует конечной полной системы (а полная существует всегда – например, множество всех векторов пространства V), то пространство V называется бесконечномерным.

9°. Если полная в V система векторов и y Î V, то { e ₁, e ₂, …, e_n, y } – также полная система.

◀ Достаточно в линейных комбинациях коэффициент перед y брать равным 0. ▶

10°. Пусть { e ₁, e ₂, …, e_n } полный в V набор векторов, т.е. ℒ(e ₁, e ₂, …, e_n) º V и пусть $ a₁, a₂, … a _n, такое, что e_n = a₁ e ₁ + a₂ e ₂ + … + a _{n –1} e_{n –1}. Тогда набор e ₁, e ₂ , …, e_{n –1}, тоже полный, т.е. ℒ(e ₁, e ₂ , …, e_n) º ℒ(e ₁, e ₂ , …, e_{n –1}) º V.

◀ { e ₁, e ₂, …, e_n } – полный Þ" х Î V $b₁, b₁, …, b _n, что x = b₁ e ₁+ b₂ e ₂ +…+ b _n e_n =

= b₁ e ₁ + b₂ e ₂ + … + b _{n –1} e_{n –1} + b _n (a₁ e ₁ + a₂ e ₂ + … + a _{n –1} e_{n –1}) =

= (b₁ + b _n a₁) e ₁ + (b₂ + b _n a₂) e ₂ + … + (b _{n –1} + b _n a _{n –1}) e_{n –1} что и требовалось доказать. ▶

Используя, основанный на теореме 10°, процесс «прополки» (выбрасывание векторов, являющихся линейными комбинациями других векторов системы) можно построить минимальный полный набор векторов в пространстве V.

Дата добавления: 2014-01-11