Разложение некоторых элементарных функций в ряд Маклорена

Для разложения функции в ряд Маклорена

нужно:

1) найти производные ,и т.д.;

2) вычислить значение производных в точке х=0;

3) написать ряд для заданной функции, найти его интервал сходимости;

4) найти интервал, в котором остаточный член ряда Маклорена при . Если такой интервал существует, то в нем функция и сумма ряда Маклорена совпадают.

Выведем формулу разложения в ряд Маклорена для функции .

1)

2) при х=0

3)

4) Находим радиус сходимости

т.е. ряд сходится в интервале

5) Для всех имеем т.е. все производные в этом интервале ограничены одним и тем же числом , следовательно, по теореме 2

Т.о.

Пример: вычислить число е, взяв первые пять членов ряда и оценить ошибку

Пример: Вычислить с точностью 0,01.

Четвертое слагаемое 0,0083 меньше 0,01, поэтому для заданной точности достаточно сложить первые четыре члена ряда.

- число, которое показывает калькулятор.

Разложение в ряд Маклорена функции в точке х=0

1)

2) значение функции и производных в нуле

3)

4) интервал сходимости

5) любая производная функции по модулю не превосходит 1

следовательно

Имеет место разложение

6) Разложение для функции .

Воспользуемся свойством 3 степенных рядов.

Продифференцируем почленно ряд для , получим

Таблица разложения в ряд Маклорена некоторых элементарных функций.

1)

2)

3)

4)

(биноминальный ряд)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

Примеры:

1) пользуясь таблицей получить разложение для функции . Воспользуемся биноминальным рядом

2) написать ряд Маклорена для функции

Воспользовавшись 4-м свойством степенных рядов, проинтегрируем ряд для функции , получим:

Можно показать, что ряд сходится и при и

При - лейбницевский ряд, сходится.

При - лейбницевский ряд, сходится.

Таким образом ряд для функции сходится для всех .

Дата добавления: 2014-01-11