Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций

Если разлагаемая на отрезке в ряд Фурье функция f(x) является четной или нечетной, то это отражается на формулах коэффициентов Фурье (вычисление их упрощается) и на виде самого ряда (он становится неполным).

Приведем здесь несколько очевидных свойств четных и нечетных функций.

1. Произведение четной функции на четную функцию есть функция четная.

2. Произведение нечетной функции на нечетную функцию есть функция четная.

3. Произведение четной функции на нечетную функцию есть функция нечетная.

4. Если f(x) - четная функция, то .

5. Если f(x) - нечетная функция, то

Используя указанные свойства, вычислим коэффициенты Фурье и построим ряды Фурье для четной и нечетной функций.

Если функция f(x) четная, то коэффициенты Фурье приобретают вид:

Ряд Фурье для четной функции: .

Если функция f(x) нечетная, то коэффициенты Фурье приобретают вид:

Ряд Фурье для нечетной функции: .

Такие неполные тригонометрические ряды часто называют рядами по косинусам или рядами по синусам, а разложения функций разложение по синусам или разложение по косинусам.

Пример.

Разложить в ряд Фурье функцию периода 2π, заданную на интервале формулой .

Функция нечетная. Следовательно . Находим коэффициенты :

,

т.е. . Ряд Фурье содержит только синусы:

При этом

Дата добавления: 2014-01-11