Структурные схемы ММ ЛДС и их преобразование

При использовании методов комплексной области, ММ ЛДС записываются относительно изображений переменных по Лапласу. Графическое представление такой ММ в виде структурной схемы имеет вид некоторого соединения ЛДЗ с входами u_i (p) и выходами y_i (p). Для каждого из них оператор преобразования в комплексной области A_p задается в явном виде передаточной функцией W_i (p): y_i (p)= A_p { u_i (p)}= W_i (p) u_i (p) (часто формально полагают, что A_p = W_i (p)). При этом конфигурация структурной схемы может оказаться произвольно сложной, тогда как методы анализа и синтеза всегда предполагают некоторый общепринятый (канонический) ее вид. Это могут быть, например, тривиальная структура с одним звеном; структура с единичной отрицательной обратной связью и др. При этом возникает задача приведения исходной структурной схемы к требуемому виду.

Решить эту задачу можно различными способами: а) аналитический метод; б) метод эквивалентных структурных преобразований; в) комбинированный метод.

Аналитический метод основан на исключении всех промежуточных переменных в составе ММ, которых нет в требуемой структуре. Например, для получения тривиальной структуры с одним звеном нужно оставить в ММ только изображения входной и выходной переменных.

Структурный метод основан на эквивалентных преобразованиях исходной структурной схемы, выполняемых за несколько шагов, на каждом из которых происходит изменение конфигурации схемы в нужном направлении. При этом на каждом шаге применяют правила эквивалентной замены некоторого фрагмента схемы другим фрагментом, а критерием эквивалентности является равенство передаточных функций для исходного и преобразованного фрагментов.

Обычно используют следующие 3 основных и 3 дополнительных правила:

1) последовательное (каскадное) соединение (рис.1, а) n ЛДЗ (выход первого является входом второго и т.д.) эквивалентно звену с передаточной функцией, равной произведению передаточных функций всех звеньев этого соединения: W _э(p)= W_n (p) W_{n –1}(p)… W ₁(p). В одномерном случае порядок расположения множителей может быть любым.

2) параллельное соединение (рис.1, б) n ЛДЗ (вход общий, а выходы всех суммируются) эквивалентно звену с передаточной функцией, равной сумме передаточных функций всех звеньев этого соединения W _э(p)= W_n (p)+ W_{n -1}(p)+…+ W ₁(p). Порядок суммирования может быть любым.

3) встречно-параллельное соединение (с обратной связью) двух звеньев с передаточными функциями W ₁(p) и W ₂(p). Записав уравнения для этого вида соединения по схеме рис. 1, в) и исключив промежуточные переменные E (p) и Y ₂(p), получим передаточную функцию эквивалентного звена в следующем виде Ф (p)= W ₁(p)[1 W ₁(p) W ₂(p)]^–1. В частном случае, когда W ₂(p)=1 и обратная связь отрицательная (нижний знак!), эта формула примет вид Ф (p)= W ₁(p)[1+ W ₁(p)]^–1. Для соединения многомерных звеньев у этой формулы есть несколько вариантов.

а) последовательное; б) параллельное; в) встречно-параллельное

Рис.1– Типовые соединения ЛДЗ

4) Правило эквивалентного переноса входа с умматора через ЛДЗ с W (p):

а) с входа ЛДЗ на его выход: в переносимый вход сумматора добавляется звено с передаточной функцией W _э(p)= W (p). При этом недопустим перенос через неустойчивое звено;

б) с выхода ЛДЗ на его вход: в переносимый вход сумматора добавляется звено с передаточной функцией W _э(p)= W ^–1(p). При этом недопустим перенос через звено, имеющие нули передаточной функции в правой полуплоскости;

5) Правило эквивалентного переноса точки (узла) ветвления через ЛДЗ с W (p):

а) с входа ЛДЗ на его выход: в переносимую ветвь добавляется звено с передаточной функцией W _э(p) = W ^–1(p). При этом недопустим перенос через звено, имеющие нули в правой полуплоскости;

б) с выхода ЛДЗ на его вход: в переносимую ветвь добавляется звено с передаточной функцией W _э(p)= W (p). При этом недопустим перенос через неустойчивое звено;

6) изменение числа и порядка следования сумматоров и узлов ветвления:

а) последовательно расположенные сумматоры можно менять местами; объединять в один с большим числом входов, а один сумматор с числом входов больше двух разбивать (расщеплять) на несколько соединенных последовательно сумматоров;

б) последовательно расположенные узлы ветвления можно менять местами, объединять или разбивать (расщеплять) на большее их число.

Применение правил 4 – 6 помогает выделить типовые соединения в сложной структуре с последующей их заменой эквивалентным звеном.

Во многих случаях конечный результат преобразований получается быстрее и проще, если на некотором промежуточном этапе структурный метод применять в комбинации с аналитическим методом. Рассмотрим применение этих методов на двух примерах различного уровня сложности.

Пример 1. Соединение двух ЛДЗ с передаточными функциями W ₁(p) и W ₂(p) (см.рис.2, а). Требуется получить передаточные функции W_yx (p) и W_zx (p).

Решение: Из исходной схемы а) в результате переноса сумматора с выхода первого звена на вход (правило 4, б) и изменения порядка следования сумматоров (правило 6, а) получим схему б) в которой присутствуют только типовые соединения. Применяя соответствующие правила для их эквивалентной замены, получим:

W_yx (p)={ W ₁/(1– W ₁)}(1+ W ₂/ W ₁) = (W₂+ W ₁)/(1– W ₁).

А так как Z (p)= X (p)+ Y (p), то W_zx (p)=1+ W_yx (p)=(1+ W ₁)/(1– W ₁).

Рис.2

Пример 2. Соединение произвольного вида из n ЛДЗ с передаточными функциями W_i (p) и безынерционными линейными взаимными связями (см. рис.3). Требуется получить передаточную функции W_yx (p).

Рис.3

Для этого соединения запишем следующие соотношения между переменными:

y_i (p)= W_i (p) u_i (p); u_i (p)=å(R_ij) ^yy_j (p)+å R_i^xX (p); Y (p)=å S_i^yy_i (p) + S_xX (p).

Перейдем здесь к векторно-матричным обозначениям:

y *(p) = (y ₁, y ₂,… y_n); u *(p) = (u ₁, u ₂,… u_n); W *(p) = diag{ W_i (p)};

R _y ={(R_ij) ^y }; R _x ={ R_i^x }; S _y = { S_i^y }.

Тогда уравнения запишутся более компактно:

y *(p) = W *(p) u *(p); u *(p) = R _y y *(p)+ R _x X (p); Y (p)= S _y y *(p)+ S_xX (p).

Этим уравнениям соответствует следующая структурная схема (рис.4):

Рис. 4

Такое представление является общим для любой линейной системы, и поэтому его называют унифицированной структурной схемой. Для разных систем в этой структуре будут другими только матрицы связей R _x, R _y, S _x, R _y и матрица W *(p).

Применяя правила эквивалентной замены типовых соединений, запишем передаточную функцию для унифицированной структуры:

W _yx (p)= S _x + [ E – W *(p) R _y ]^–1 W *(p) R _x.

Из этой формулы следует, что полюсами передаточной функции W _yx (p) будут корни следующего (характеристического) уравнения det[ E – W *(p) R _y ]=0. Если все передаточные функции звеньев W_i (p)= B_i (p)/ A_i (p), то его можно записать в эквивалентном виде:

det[ A *(p)– B *(p) R _y ]=0,

где B *(p)=diag{ B_i (p)} и A *(p)={ A_i (p)} – полиномиальные диагональные матрицы.

Полученные здесь формулы удобны для компьютерных вычислений с помощью математических пакетов, приспособленных для выполнения матричных преобразований. Исходные данные для расчетов могут быть записаны непосредственно по структурной схеме сложного соединения ЛДЗ. Матрицы связей R _x, R _y, S _x, R _y являются клетками таблицы связей следующего вида

	X	y*
u*	R x	R y
Y	S x	S y

Так, например, для схемы, изображенной на рис.2, эти матрицы будут иметь вид

R _x =; R _y =; S _y =; S _x =0.

Дата добавления: 2014-01-11