Лекция 1. Функция. Числовая последовательность. Пределы

Введение в анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Содержание лекции: Понятие функции. Способы задания, свойства, классификация функций. Числовые последовательности. Предел числовой последовательности. Предел функции. Теоремы о пределах. Односторонние пределы. Первый и второй замечательные пределы.

Цели лекции: знакомство с основными понятиями математического анализа.

◙ Переменной величиной называется всякая величина х, способная принимать различные числовые значения.

Величина, численные значениякоторой не меняются, называется постоянной величиной.

◙ Переменная величина у называется функцией независимой переменной х, если любому определенному значению х (из множества возможных значений) соответствует единственное определенное значение у.

Обозначение: у = f (х).

Переменная х называется при этом аргументом или независимой переменной, у называют зависимой переменной.

◙ Совокупность значений х, для которых определяются значения функции у в силу правила f (х), называют областью определения функции (обозначают D (y)), а совокупность всевозможных значений функции у в силу правила f (х), называют областью изменения функции (обозначают E (y)).

Способы задания функции:

1) аналитический (формулой);

2) табличный;

3) графический;

◙ Графиком называется совокупность точек (х, f (х)) плоскости (хОу), абсциссы которых являются значениями независимой переменной, а ординаты – соответствующими значениями функции.

4) словесный.

Основные свойства функций:

1) четность;

◙ Функция у = f (х) называется четной, если f (– х) = f (х) " х Î D (у)

(график функции симметричен относительно оси ординат).

2) нечетность;

◙ Функция у = f (х) называется нечетной, если f (– х) = – f (х) " х Î D (у)

(график функции симметричен относительно начала координат).

3) монотонность;

◙ Если функция у = f (х) такова, что большему значению аргумента х соответствует большее (меньшее) значение функции, то функция у = f (х) называется возрастающей (убывающей).

◙ Функция у = f (х) называется монотонной, если она является либо возрастающей, либо убывающей.

4) ограниченность;

◙ Функция у = f (х) называется ограниченной в данной области D (в области изменения аргумента х), если $ М > 0: | f (х)| ≤ М " х Î D.

Если же такого М не существует, то функция у = f (х) называется неограниченной в данной области.

5) периодичность;

◙ Функция у = f (х) называется периодической, если

$ С > 0: f (х + С) = f (х) " х Î D (у).

Наименьшее такое число называется периодом функции.

Основные виды функций:

1) Явная и неявная функции.

◙ Функция задана явно, если она определена уравнением у = f (х); функция задана неявно, если она определена уравнением F (x, y) = 0.

2) Обратная функция.

Если между значениями x и соответствующими им значениями y = f (х) устанавливается взаимно однозначное соответствие, то, рассматривая эти значения y как значения аргумента, а значения х как значения функции, получаем х как функцию у: х = φ (y). Эта функция называется обратной для функции у = f (х). Очевидно, что и функция у = f (х) является обратной для функции х = φ (y).

3) Сложная функция (суперпозиция, композиция, функция от функции).

Если у является функцией от и, а и в свою очередь зависит от переменной х, то у также зависит от х, т.е. если у = F (и), и = φ (х),

то у = F [ φ (х)]. Последняя функция называется функцией от функции или сложной функцией или суперпозицией или композицией.

Дата добавления: 2014-01-11