Числовая последовательность

Если функция у = f (х) определена на множестве натуральных чисел (т.е. D (y)= N, где N = {1, 2, 3, …}), то мы имеем дело с упорядоченной переменной величиной, значения которой образуют числовую последовательность

у₁, у₂, у₃, …, у_п, … (где у_п = f (n), п Î N).

Предел числовой последовательности

◙ 1. Постоянное число а называется пределом переменной величины у_п при п → ∞, если " e > 0 $ N > 0: ½ у_п – а ½< e при п > N. (Последняя запись читается следующим образом: «если для любого наперед заданного произвольного малого положительного числа ε существует такой номер N > 0, что будет выполняться неравенство ½ у_п – а ½< e для всех п > N»)

Обозначения: или .

2. Последовательность у_п стремится к бесконечности, если

" М > 0 $ N > 0: ½ у_п ½ > М при п > N.

Обозначения: или .

Примеры: 1) у_п = п, ; 2) у_п = (–1) ^п п, .

Предел функции

Пусть функция y = f (x) определена в некоторой окрестности точки а или в некоторых точках этой окрестности.

◙ (предел функции в точке)

Функция y = f (x) стремится к пределу b (y ® b) при x, стремящемся к a (x ® a), если " e > 0 $ d (e) > 0: ½ у_п – а ½< e при всех х, удовлетворяющих неравенству | х – а | < d (e).

Обозначение: f (x) ® b при x ® a или

Односторонние пределы:

◙ а) (предел функции f (x) в точке а слева)

Функция y = f (x) стремится к пределу b₁ (y ® b₁) при x, стремящемся к a слева (x ® a – 0), если " e > 0 $ d (e) > 0: ½ f (x) – b₁ ½< e при всех х, удовлетворяющих неравенству 0 < а – х < d (e).

Обозначение: .

◙ б) (предел функции f (x) в точке а справа)

Функция y = f (x) стремится к пределу b ₂ (y ® b ₂) при x, стремящемся к a справа (x ® a + 0), если " e > 0 $ d (e) > 0: ½ f (x) – b ₂½< e при всех х, удовлетворяющих неравенству 0 < х – а < d (e).

Обозначение: .

◙ (бесконечные пределы функции)

Функция y = f (x) стремится к бесконечности (y ® ¥) при x, стремящемся к a (x ® a), если " М > 0 $ d (М) > 0: ½ f (x)½> М при всех х, удовлетворяющих неравенству | х – а | < d (М).

Обозначение: .

Если f (x) стремится к бесконечности при x ® a и при этом принимает только положительные или только отрицательные значения, то соответственно пишут или .

◙ (предел функции на бесконечности)

Функция y = f (x) стремится к пределу b при x ® ¥, если

" e > 0 $ N > 0: ½ f (x) – b ½< e, при всех значений х, удовлетворяющих неравенству | х | > N.

Обозначения: 1) f (x) ® b при x ® ¥ или

2) f (x) ® b при x ® – ¥ или

3) f (x) ® b при x ® + ¥ или

Пример.

Если f (x) ® ¥ при x ® ¥, то пишут

В частности, может быть: и т.д.

Примеры:

! З а м е ч а н и е. Функция y = f (x) при x ® a или при х ® ¥ может не стремиться к конечному пределу или к бесконечности. (Пример. y = sin x.)

Основные теоремы о пределах

Пусть а £ ¥ (константа или бесконечность).

Теорема 1. .

Теорема 2. .

Следствие. , С – константа.

Теорема 3. если

Теорема 4. Если между соответствующими значениями трёх функций u (x), y (x), v (x) выполняется неравенство u (x) £ y (x) £ v (x) и , то .

Теорема 5. Если между соответствующими значениями двух функций u (x), v (x) выполняется неравенство u (x) £ v (x) и существуют пределы то .

Теорема 6. Если при х ® а функция у ³ 0 и при этом у ® b, то b ³ 0.

Теорема 7. Если у – возрастающая и ограниченная функция, т.е. у < M, то существует предел где В £ M.

Первый и второй замечательные пределы

Первый замечательный предел: .

Следствия: 1); 2) ; 3) .

Второй замечательный предел: , е = 2,7182818284…,

– обобщённая форма.

Дата добавления: 2014-01-11