Экстремумы функции одной переменной

◙ Функция f (x) имеет максимум при х = х ₁, если f (x ₁ + D х) < f (x ₁) при любых D х (положительных и отрицательных), достаточно малых по абсолютной величине (т.е. ½D х ½<< 1).

◙ Функция f (x) имеет минимум при х = х ₂, если f (x ₂ + D х) > f (x ₂) при любых D х (положительных и отрицательных), достаточно малых по абсолютной величине.

З а м е ч а н и е. Функция, определенная на отрезке, может достигать максимума и минимума при значениях х, заключенных внутри рассматриваемого отрезка.

! Не следует думать, что максимум и минимум функции являются, соответственно, наибольшим и наименьшим значениями на рассматриваемом отрезке.

◙ Максимумы и минимумы функции называют экстремумами (экстремальными значениями) функции.

Рисунок 1.4.2

Теорема 3. (необходимое условие существования экстремума)

Если дифференцируемая функция y = f (x)имеет в точке х = х ₁ максимум или минимум, то f¢ (x ₁) = 0.

З а м е ч а н и е.

1. Условие теоремы не является достаточным. (Пример: y = x ³).

2. Экстремум может существовать в точках, где производная не существует (терпит разрыв). (Пример: у = ½ х ½, х = 0).

◙ Значения аргумента, при которых производная обращается в нуль или терпит разрыв, называются критическими точками (критическими значениями).

Теорема 4. (первое достаточное условие существования экстремума)

Пусть f (x)непрерывна в некотором интервале, содержащем критическую точку х ₁, и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме, быть может, самой точки х ₁). Тогда

А) если f¢ (x)> 0 при х < х ₁ и f¢ (x)< 0 при х > х ₁,

то в точке х ₁ функция имеет максимум.

Б) если f¢ (x)< 0 при х < х ₁ и f¢ (x)> 0 при х > х ₁,

то в точке х ₁ функция имеет минимум.

Теорема 5. (второе достаточное условие существования экстремума)

Пусть f¢ (x ₁) = 0; f¢¢ (x) существует и непрерывна в некоторой окрестности точки х ₁. Тогда при х = х ₁ функция имеет максимум, если f¢¢ (x ₁) < 0,

и минимум, если f¢¢ (x ₁) > 0.

Дата добавления: 2014-01-11