Вычисление двойных интегралов. Пусть D - замкнутая область в плоскости Oxy

Пусть D - замкнутая область в плоскости Oxy.

◙ Область D называется правильной в направлении оси Oy (Ox),

если всякая прямая l, параллельная оси Oy (Ox) и проходящая через внутреннюю точку D, пересекает границу области в двух точках, т.е. .

Таким образом,

◙ D – правильная область в направлении оси Оу, если

D ограничена линиями: y = j ₁(x), y = j ₂(x), x = a, x = b, причем

j ₁(x) £ j ₂(x), a < b,

j ₁(x), j ₂(x) – непрерывны на [ a, b ] (Рисунок 2.4.1.);

◙ D – п равильная область в направлении оси Ох, если

D ограничена линиями: х = y ₁(у), х = y ₂(у), y = с, у = d, причем

y ₁(у) £ y ₂(у), с < d,

y ₁(у), y ₂(у) – непрерывны на [ с, d ] (Рисунок 2.4.2.).

Рисунок 2.4.1 Рисунок 2.4.2

◙ Правильная область – область, правильная как в направлении оси Ох, так и в направлении оси Оу.

Пусть f (x, y) непрерывна в D.

◙ Выражение назовем двукратным интегралом от f (x, y) по области D. Т.е. , где .

Свойства двукратного интеграла:

1) Если правильную в направлении оси Оу область D разбить на две области D₁ и D₂ прямой, параллельной оси Оу или Ох, то .

Следствие. .

2) (оценка двукратного интеграла) Если m – наименьшее, M – наибольшее значения функции f (x, y) в D, S – площадь области D, то

.

3) (теорема о среднем)Существует точка Р Î D такая, что

.

Теорема 2. (Вычисление двойных интегралов)

Если f (x, y) – непрерывная функция, D – правильная область в направлении Оу, то ;

если D – правильная область в направлении Ох, то

.

З а м е ч а н и е. а) Правые части представленных формул являются двукратными или повторными интегралами. Переход от одной формулы к другой называется изменением порядка интегрирования.

б) Если область D не является правильной, то необходимо для начала разбить ее на конечное множество правильных областей.

Дата добавления: 2014-01-11