Ряды Тейлора и Маклорена

Если функция f (x) имеет производные в окрестности точки x = a до (n +1)-го порядка включительно, то справедлива формула Тейлора:

(12)

где остаточный член вычисляется по формуле

, 0 < θ < 1.

Допустим, что в окрестности точки x = a

Тогда, переходя в формуле (12) к пределу при п ® ¥, получим

ряд Тейлора:

(13)

Равенство (13) справедливо лишь в случае, если R_n (x) → 0 при п → ∞.

В этом случае написанный справа ряд сходится и его сумма равна данной функции f (x).

З а м е ч а н и е. Ряд Тейлора представляет данную функцию f (x) только тогда, когда

Если то ряд не представляет данной функции, хотя может и сходиться (к другой функции).

Если в ряде Тейлора a = 0, то получаем частный случай ряда Тейлора – Ряд Маклорена:

(14)

Дата добавления: 2014-01-11