Множества и их элементы

Принципы работы экспедиторских компаний

Операторская (экспедиторская) компания, работающая в сфере перевозок должна придерживаться принципов:

1) работа с крупными отправителями и получателями, экспорт и импорт которых осуществляется с Украиной стабильно;

2) максимальное выравнивание объемов экспорта и импорта

3) предоставление клиенту полного комплекса транспортно-экспедиторских услуг;

4) гарантия клиентам сохранности, согласованных сроков и отсутствие экстра расходов;

5) создание собственной базы (склады, техника, перегрузочные средства, компьютеры);

6) внедрение современных технологий (единый мультимодальный коносамент, доставка от двери до двери)

7) полная легитимность работы, отказ от обслуживания клиентов с плохой репутацией

8) активная работа по привлечению национальных внешнеторговых грузов

9) обеспечение минимального уровня цен при высоком качестве выполняемых услуг при выполнении гарантий договора.

Для множества не существует строгого определения, поэтому введем описательные понятия множества и его элементов.

Множеством называется совокупность некоторых предметов, объединенных общим признаком. Элементы множества – это те предметы, из которых состоит множество.

Пусть имеется множество А, элементом которого является предмет а. Это записывается как А={а}. Например, А={1, 2, 3}.

Если какой-то элемент а принадлежит множеству А, то это обозначается аÎА, а если b не принадлежит А, то bÏА. Например, пусть А – множество четных натуральных чисел, тогда 6ÎА, а 3ÏА.

Пусть имеется два множества А и В, причем все элементы множества А принадлежат множеству В, т.е. если хÎА, то хÎB. В этом случае говорят, что множество А включено в множество В. Обозначается: АÍВ (Í – символ нестрогого включения, т.е. возможно совпадение множеств). Множество А совпадает с множеством В (А = В), если все элементы множества В являются элементами множества В и все элементы множества В являются элементами множества А. Это можно записать в виде

(А Í В и В Í А) Û (А = В).

Множество А строго включено в множество В, если все элементы множества А принадлежат множеству В, но не все элементы множества В принадлежат множеству А. Например: А = { 1, 2, 3 }, В = { 0, 1, 2, 3 }, АÌВ.

Способы задания множеств. Возможны два способа задания множества.

1. Перечислением элементов, т.е. в фигурных скобках дается полное перечисление элементов данного множества. Например: N = {1,2,...,n,...} – множество натуральных чисел.

2. С помощью указания характерного свойства (указание свойства, которым обладают только элементы данного множества). Символически это записывается в виде A={x | P(x)} и читается: A есть множество всех элементов х, обладающих свойством P(x).

При задании множества вторым способом возможны различные противоречия и парадоксы. Рассмотрим примеры таких парадоксов.

1) Парадокс парикмахера: в городе жил парикмахер, который брил всех, кто не брился сам. Кто же брил парикмахера?

2) Пусть имеем натуральное число 11218321 – одиннадцать миллионов двести восемнадцать тысяч триста двадцать один. Это число можно описать с помощью восьми слов. Пусть А – множество натуральных чисел, которые нельзя определить с помощью фразы, имеющей меньше 20 русских слов. Обозначим а_min – наименьшее число из множества А, причем а_minÎA. Число а_min можно определить следующим образом: наименьшее натуральное число, которое нельзя определить с помощью фразы, имеющей менее двадцати слов. В этой фразе 14 слов. Значит, а_min можно определить с помощью фразы, содержащей менее 20 слов. Тогда получается, что а_minÏ А.

Существует много подобных примеров, когда определение множества оказывалось внутренне противоречиво, однако, выяснение условий, при которых это может иметь место, требует специальных исследований, составляющих предмет математической логики, и выходит за рамки собственно теории множеств. Поэтому в дальнейшем изложении мы не станем касаться спорных случаев, и будем рассматривать лишь множества, которые определяются точно и без противоречий.

В теории множеств имеется специальное множество, называемое пустым множеством (Æ), которое не содержит ни одного элемента. Пустое множество по определению содержится в любом множестве А (ÆÎА, " A). Это понятие вводится из следующих соображений. Задавая множество вторым способом не всегда заранее можно быть уверенным, существуют ли элементы, ему принадлежащие. Например, можно говорить о множестве четырехугольников на плоскости, у которых все углы прямые, а диагонали не равны. Только знания основ геометрии позволяют убедиться, что таких четырехугольников не существует и, следовательно, это множество пусто.

Доказательства в теории множеств. Большинство утверждений теории множеств связано с равенством двух множеств или включением одного множества в другое. Поэтому надо детально разобраться в методах доказательства этих фактов.

1. Доказательство включения АÍВ. Для этого нужно доказать, что любой элемент x, принадлежащий множеству А одновременно является элементом множества В, т.е.

(" x Î А) Þ (x Î В).

2. Доказательство равенства А = В. Оно сводится к доказательству двух включений А Í В и В Í А.

Пример 1. Докажем следующую теорему. Для любых множеств А, В и С выполняется закон транзитивности нестрогого включения, т.е. если а) А Í В и б) В Í С, то из этого следует, что АÍС.

Доказательство. Пусть x – любой элемент множества А, (xÎА), тогда в силу условия А Í В, по определению нестрогого включения, элемент х принадлежит также и множеству В (хÎB). Аналогично, используя условие В Í С, можно доказать, что х принадлежит С (хÎС).

Итак, в качестве исходного допущения мы приняли, что x – любой элемент из А. Из этого допущения при выполнении условий а) и б) получено следствие хÎС. По определению нестрогого включения это означает А Í С, что и требовалось доказать.

Дата добавления: 2014-01-11