Двухшаговый метод наименьших квадратов (ДМНК)

Если система сверхидентифицируема, то КМНК не использу­ется, ибо он не дает однозначных оценок для параметров структурной модели. В этом случае могут использоваться разные методы оценивания, среди которых наиболее распространенным и простым является двухшаговый метод наименьших квадратов (ДМНК).

Основная идея ДМНК — на основе приведенной формы модели получить для сверхидентифицируемого уравнения теоретические значения эндогенных переменных, содержащихся в правой части уравнения.

Далее, подставив их вместо фактических значений, можно применить обычный МНК к структурной форме сверхидентифицируемого уравнения. Метод получил название двухшагового МНК, ибо дважды используется МНК: на первом шаге при определении приведенной формы модели и нахождении на ее основе оценок теоретических значений эндогенной переменной У^i = δi1 х₁ + δi2 х₂ +... + δij х_j и на втором шаге применительно к структурному сверхидентифицируемому уравнению при опре­делении структурных коэффициентов модели по данным теоре­тических (расчетных) значений эндогенных переменных.

Сверхидентифицируемая структурная модель может быть двух типов:

•все уравнения системы сверхидентифицируемы;

•система содержит наряду со сверхидентифицируемыми точно сли все уравнения системы сверхидентифицируемые, то для оценки структурных коэффициентов каждого уравнения исполь­зуется ДМНК. Если в системе есть точно идентифицируемые уравнения, то структурные коэффициенты по ним находятся из системы приведенных уравнений.

Применим ДМНК к простейшей сверхидентифицируемой модели:

Данная модель может быть получена из предыдущей иденти­фицируемой модели:

если наложить ограничения на ее параметры, а именно:

b12=a11

В результате первое уравнение стало сверхидентифицируе-мым: H= 1 (у1), D = 1 (х₂) и D + 1 > Н. Второе уравнение не изме­нилось и является точно идентифицируемым: H = 2 и D = 1, D + 1 = H.

На первом шаге найдем приведенную форму модели, а именно:

.

Предполагая использование тех же исходных данных, что и в предыдущем примере, получим ту же систему приведенных урав­нений:

На основе второго уравнения данной системы можно найти теоретические значения для эндогенной переменной у₂, т. е. у₂. С этой целью в уравнение

у₂ = - 0,072 x1 - 0,00557 х₂ + и₂

подставляем значения х, и х₂ (в нашем примере это отклонения от средних уровней). Оценки для эндогенной переменной у₂ приведены в табл. 4.1 (гр. 3).

Таблица 4.1 Расчетные данные для второго шага ДМНК

X1	x2		+x1=z	Y1	Y1z
-1,4	-0,4	6,103	-1,297	-2	2,594	1,682
-0,4	-2,4	0,042	-0,358	-1	0,358	0,128
0,6	-1,4	-0,035	0,565			0,319
-0,4	1,6	0,020	-0,380		-0,380	0,144
1,6	2,6	-0,130	1,470		2,940	2,161
Сумма					5,512	4,434

После того как найдены оценки эндогенной переменной у₂, обратимся к сверхидентифицируемому структурному уравнению

У1^=b12(y2+x1)

Заменяя фактические значения у₂ их оценками у₂, найдем значения новой переменной

+x1=z

Далее применяем МНК к уравнению

У1 =b12*z,

т. е.

Откуда

Таким образом, сверхидентифицируемое структурное урав­нение составит:

У₁ = 1,243 •(y₂ + x₁).

Ввиду того, что второе уравнение нашей системы не изменилось, то его структурная форма, найденная из системы приведенных уравнений, та же:

у₂ = -0,085 •y1 + 0,026 • х₂.

В целом рассматриваемая система одновременных составит:

ДМНК является наиболее общим и широко распространен­ным методом решения системы одновременных уравнений Для точно идентифицируемых уравнений ДМНК. Дает тот же результат, что и КМНК. Поэтому в ряде компьютерных программ, например DSTAT, для решения системы одновременных уравнений рассматривается лишь ДМНК.

Решение сверхидентифицируемой модели на компьютере по­строено на предположении, что при каждой переменной в правой части системы имеется свой структурный коэффициент. Если же в модель вводятся ограничения на параметры, как в рассмотренном примере b12 = a11, то программа DSTAT не работает. Структурная модель может принимать любой вид, но без ограничений на параметры При этом должно выполнятся счетное правило идентификации. D+l>H. Так, если структурная модель имеет вид:

где первое уравнение сверхидентифииируемо, а второе - точно идентифицируемо, то реализация модели в ППП DSTAT оказывается следующей.

Последовательно ДМНК применяется к каждому уравнению Эндогенная переменная, находящаяся в левой части системы" рассматривается как зависимая переменная, а переменные со­держащиеся в правой части системы (эндогенные и экзогенные) - как факторы, которые должны быть пронумерованы. Так при вводе информации о переменных в последовательности _У[ у₂ x, х₂, х₃ для первого уравнения имеем: у₂ — фактор 2; х, - фактор 3.

Далее отвечаем на следующие вопросы программы DSTAT.

Эндогенная переменная — это фактор №? Ответ: 2.

Экзогенная переменная, входящая в уравнение,- это фактор №? Ответ: 3.

Не входящая в уравнение экзогенная переменная — это фактор №? Ответ: 4.

Не входящая в уравнение экзогенная переменная — это фактор №? Ответ: 5.

По окончании процедуры выдается уравнение

и приводится оценка его качества через F-критерий Фишера, относительную ошибку аппроксимации и оценки значимости структурных коэффициентов модели через t -критерий Стьюдента.

Аналогично поступаем со вторым уравнением системы. В нем соответственно эндогенная переменная у_х рассматривается как фактор 1, а экзогенные переменные х_г и х₃ — как факторы 4 и 5. Не входящая в уравнение экзогенная переменная Xj обозначается как фактор 3. В результате получим искомое уравнение

Несмотря на важность системы эконометрических уравнений, на практике часто не принимают во внимание некоторые взаимосвязи, применение традиционного МНК к одному или нескольким уравнениям также широко распространено в эконометрике. В частности, при построении производственных функций анализ спроса можно вести, используя обычный МНК.

Двухшаговый метод наименьших квадратов (ДМНК)

Пример 2(из Практикума.)

Дата добавления: 2014-01-11