Принцип Фурье

Фурье впервые отметил, что у физических уравнений, представляющих собой одно- или многочлены, все члены имеют одну и ту же размерность относительно основных единиц измерения, а аргументы трансцендентных и сложных функций (например, тригонометрических, логарифмических и экспоненциальных) безразмерны. Это свойство физических уравнений, все величины которых записаны в абсолютной системе единиц измерения, известно как правило Фурье.

Справедливость правила Фурье для простых одночленных выражений была показана при введении понятия о производных единицах измерения. Покажем справедливость правила Фурье для более сложных уравнений. Пусть физический процесс описывается уравнением вида

, (14)

а для измерения физических величин принята система, основными единицами которой являются [ a ], [ b ], [ c ].

Величины, входящие в уравнение (14), можно представить как произведения их единиц измерения на отвлеченные числа, показывающие во сколько раз измеряемая величина больше или меньше единицы измерения, т.е.

(15)

где { Q }, { P }, { R } - абсолютные величины, характеризующие измеряемые параметры; [ q ], [ p ], [ r ] - размерности тех же физических параметров.

Единицы измерения физических параметров Q, P и R можно представить как

(16)

Подставив (15) и (16) в исходное уравнение (14), получим

=× (17)

или

= . (18)

Перейдем к другой системе единиц, в которой основными являются [ e ], [ k ], [ d ].

Пусть между прежними и основными единицами имеют место соотношения

(19)

Тогда при подстановке (19) в (18) получим

. (20)

Сравнивая уравнения (18) и (20), описывающие один и тот же физический процесс, можно придти к выводу, что при переходе к новой системе единиц вид физического уравнения не нарушается, если

(21)

т.е. если размерности членов уравнения (14) справа и слева в любой системе единиц измерения одинаковы.

Анализируя сделанные выкладки, можно заметить, что результат остался бы тем же самым, если бы правая часть уравнения (14) была представлена в виде суммы степенных комплексов одинаковой размерности, а для измерения физических величин была бы принята система единиц, состоящая из меньшей или большей трех.

Таким образом, показана справедливость правила Фурье, если физическое уравнение представлено в виде суммы математических выражений одинаковой размерности.

Покажем справедливость правила Фурье для уравнений, содержащих трансцендентные и сложные функции. Для этого воспользуемся, например, уравнением вида

, (21)

где ,

.

Уравнение может описывать физический процесс, если

Отсюда следует, что произведение, стоящее в уравнении (21) под знаком логарифма, должно быть отвлеченным числом.

2.5. Однородность физических уравнений.

Физические уравнения, представленные через величины, измеренные в абсолютной системе единиц, не меняют своего вида при переходе к единицам другого масштаба. Уравнения, обладающие такими свойствами, называются однородными или гомогенными. Этим свойством обладают только формулы, представляющие собой степенную зависимость между величинами.

Покажем однородность функций на степенном выражении. Известно, что динамический момент инерции тела равен

, (22)

где m - масса тела; R - характерный размер тела; η - безразмерный коэффициент, учитывающий форму тела.

Тогда формулу размерности момента инерции можно представить в виде

. (23)

Установим, как изменится масштаб производной величины J при переходе к новым единицам измерения. Пусть между величинами, измеренными в старой и новой системе единиц, имеют место зависимости

(24)

где индексами “1” обозначены величины в новой системе единиц; m_j, m_m, m_R - масштабы перехода от прежних единиц измерения к новым.

Подставив соотношения (24) в равенство (23), получим

. (25)

Для абсолютной системы единиц будем иметь

,

. (26)

Таким образом, уравнение (22) при переходе к новой системе единиц остается неизменным, т.к. масштабы m в левой и правой частях уравнения получились в виде общих множителей и их можно сократить. Возможность объединения в один общий множитель всех числовых коэффициентов физических параметров, входящих в уравнение процесса, и возможность сокращения этих множителей, обусловливается видом функциональной связи между основными и производными единицами измерения.

Свойством однородности, кроме степенного многочлена обладает также сумма степенных комплексов одинаковых размерностей.

Практически очень важно, что свойством однородности обладают не только алгебраические, но также дифференциальные и интегральные уравнения, т.к. операции дифференцирования и интегрирования не оказывают влияния на однородность уравнения.

Наличие в уравнениях процессов трансцендентных и сложных функций не влияет на однородность уравнений в целом, хотя сами трансцендентные и сложные функции не являются однородными. Это объясняется тем, что по отношению к размерным членам неоднородные функции играют роль безразмерных коэффициентов.

Таким образом, принцип Фурье и однородность физических уравнений могут связываться не только с уравнениями, величины которых записаны в абсолютной системе единиц, но практически с уравнениями, записанными в любой системе единиц. Следовательно, все физические явления могут быть выражены однородными уравнениями.

Дата добавления: 2014-01-11