Безразмерные координаты и безразмерные параметры геометрически подобных систем

В ряде теоретических исследований, а также при моделировании физических процессов большие удобства дает переход к безразмерным зависимостям между параметрами. Для обезразмеривания величин координаты и параметры объекта делят на характерные размеры и параметры, выбранные в качестве масштабов измерения и имеющие те же размерности

, (4)

где v ₀ - характерный размер или показатель системы, выбранный в качестве единицы измерения параметра v и имеющий с ним одну и ту же размерность; k - безразмерная величина, являющаяся результатом сопоставления параметра v с единицей измерения v ₀.

Из отношения (4) получим

. (5)

Таким образом, безразмерная величина показывает во сколько раз параметр больше условно выбранной для него единицы измерения.

Отношения вида (5) в дальнейшем будем называть масштабными преобразованиями. Покажем, каким образом с помощью масштабных преобразований можно получить безразмерные координаты и параметры. Для этого воспользуемся равенством (1) и разделим все члены этого равенства на один из членов, например, l _{1 i} / l _{2 i}. В результате получим

(6)

Введем обозначения

(7)

где X _{1 i}, Y _{1 i}, Z _{1 i}, L _{1( i –1)}; X _{2 i}, Y _{2 i}, Z _{2 i}, L _{2( i –1)} - безразмерные координаты и параметры, выраженные в долях сходственных параметров l _{1 i} и l _{2 i}.

Тогда соотношение (6) примет иной вид

, (8)

откуда получим

и т.д. (9)

Из этой серии равенств следует, что если в качестве масштабов для измерения принять сходственные параметры подобных систем, то у этих систем безразмерные координаты сходственных точек и безразмерные сходственные параметры соответственно равны.

Это свойство легко демонстрируется с помощью инвариантов подобия. Кроме того, с их помощью более естественно и ясно удается произвести выбор единиц измерения типа v ₀.

Пусть даны два подобных параллелепипеда с размерами ребер соответственно a ₁=2 см, b ₁=3 см, c ₁=4 см и a ₂=6 см, b ₂=9 см, c ₂=12 см.

Инварианты подобия для данных параллелепипедов можно получить как отношения ребер для каждого из них. Если в качестве масштаба принять меньшие ребра, то инварианты подобия

Таким образом, для данных параллелепипедов величины k_b и k_c, вычисленные по типу инвариантов подобия, оказались равными для обоих параллелепипедов, следовательно, они подобны. Данное утверждение легко проверить с помощью коэффициента подобия:

,

Дата добавления: 2014-01-11