Подобные системы

Описывающих геометрически

Тождество безразмерных уравнений,

Т.е. коэффициент подобия остается равным для всех ребер данных параллелепипедов, а это означает геометрическое подобие сопоставляемых геометрических фигур.

В отличие от коэффициентов подобия инварианты удобны тем, что дают возможность оценивать различные величины в относительных единицах измерения. Действительно, инварианты k_b и k_c показывают, что высота каждого параллелепипеда больше его ширины в 1,5 раза, а длина - в 2 раза. Таким образом, инварианты подобия есть ни что иное, как пропорции их строения. Так, для малого параллелепипеда отношение длины его ребер будет равно

2: 3: 4,

а для большого –

6: 9: 12 = 2: 3: 4,

т.е. имеет место полная пропорциональность строения параллелепипедов. Если же величину ребер a ₁ и a ₂ принять за условные единицы, как это было сделано выше, то пропорции примут вид

1: 1,5: 2,

включающие в себя инварианты k_b и k_c.

Понятие о коэффициентах и инвариантах подобия распространяются на любые, а не только геометрические характеристики.

Геометрически подобные системы обладают фундаментальным свойством, которое формулируется следующим образом: если в качестве масштабов выбрать сходственные параметры, то функции, описывающие геометрически подобные системы, после их приведения (с помощью масштабных преобразований) к безразмерному виду станут тождественно одинаковыми.

Для доказательства выберем две геометрически подобные системы, описываемые уравнениями

(10)

в которых используются прежние обозначения.

Введем в эти уравнения масштабные преобразования (7). В итоге получим

(11)

т.к. L _{1 i} = L _{2 i} =1.

Ограничим класс возможных функций (11) и будем рассматривать только такие, которые позволяют привести к безразмерному виду путем исключения параметров l _{1 i} и l _{2 i}. Этим свойством обладают, например, функции, представляющие собой суммы степенных комплексов, составленных из координат их производных величин и параметров.

Для указанного вида функций уравнения (11) можно записать в более компактном виде

(12)

Так как в силу заданных условий рассматриваемые системы подобны, то для любой пары сходственных параметров должно выполняться условие

(13)

и . (14)

Равенства (13) и (14) дают основание заключить, что при поставленных выше ограничениях вида зависимостей (11) функции F ₁ и F ₂ должны быть тождественно одинаковыми.

В итоге проведенных масштабных преобразований число безразмерных параметров меньше числа размерных параметров на единицу. Это находится в полном соответствии с П -теоремой.

Безразмерные уравнения являются универсальными для всех геометрически подобных систем. В этом заключается их основная ценность.

Дата добавления: 2014-01-11