Свойства операции сложения

1. : (коммутативность);

2. : (ассоциативность);

3. : (существование нейтрального элемента);

4. : (существование противоположного элемента).

Приведем их доказательства.

1.►а) Векторы и неколлинеарны. От произвольной точки пространства отложим вектор , от точки отложим вектор и достроим полученную фигуру до параллелограмма (рис.1.3). Так как в параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны, то , . На рисунке 1.3 видно, что , , откуда и получается доказываемое равенство. Из этого доказательства вытекает еще одно правило сложения двух неколлинеарных векторов: правило параллелограмма.

б) Доказательство для коллинеарных векторов легко получается из правила замыкающей (рис. 1.4).◄

2.►На рис. 1.5 , , ; ; , откуда и вытекает доказываемое равенство.◄

Из свойства ассоциативности получаем: так как неважно, где поставить скобки при сложении трех векторов, их можно не ставить вообще (так же, как и при сложении чисел). Таким образом, определяется сумма трех и более векторов.

3.► Нейтральным элементом, очевидно, является нулевой вектор.◄

4.► Если , положим . Очевидно, что .◄

Во множестве векторов можно ввести и операцию вычитания следующим образом: по определению положим .

Дата добавления: 2014-01-13