Определение энергии сигнала через отсчеты

При анализе и синтезе информационных систем часто используется выражение энергии сигнала, полученные через величины отсчетов.

Известно, что энергия (квадратный эффект)

Воспользовавшись теоремой Котельникова определим энергию сигнала.

Подставляя ряд Котельникова

в выражение энергии, получим

Квадрат суммы под интегралом можно представить в виде произведения двух сумм:

или в виде двойного ряда

Изменим порядок интегрирования и суммирования и учитывая что отсчеты и не зависят от переменной интегрирования t, получим

(*)

Вследствие ортогональности функции отсчетов при k=l интеграл в выражении (*) равен . Окончательно

Если сигнал ограничен по времени интегралом [0,T], то количество отсчетов будет 2F T+1. И справедлива теорема

Теорема. Среднеквадратическое значение непрерывной функции f(t) равно среднему квадрату дискретности (если n=2FT достаточно величин),

Если сигнал ограничен во времени [] (T=), то количество отсчетов конечно и равно n=2FT/ В этом случае

Известно, что практическое применение теоремы Котельникова имеет два принципиальных затруднения:

1.Всякий реальный сигнал имеет конечную длительность, в то как с помощью р. функция x(t) представляется бесконечной суммой функции отсчетов.

2.Для восстановления сигнала x(t) необходимо генерировать функцию отсчета, а так как последние имеют бесконечную протяженность во времени, для отрицательного t соответствующие фильтры физически неосуществимы.

Однако отличные особенности существенно затрудняет использование теоремы, если не имеются никаких ограничений к точности передаваемого сигнала.

Рассмотрим практический важный случай определение интервала дискретизации для реальных сигналов, имеющих конечную длительность, воспользовавшись энергетическим критерием.

Пусть подлежащий передаче сигнал имеет бесконечно широкий спектр, т.е. комплексный спектр сигнала неограничен. Однако свойства спектра таковы, что в некотором диапазоне частот от 0 до сосредоточена основная часть энергии спектра; за пределами этого диапазона энергия спектра мала.

Предположим, что воспроизведенность сигнала характеризуется средней мощностью допустимой ошибки , которая возникает за счет отбрасывания высокочастотных составляющих спектра. Тогда можно указать конечную длительность сигнала за пределами который он не обнаруживается из-за ограниченной точности воспроизведения.

В пределах этой длительности сигнал будет передаваться с ошибкой, полная энергия

где Е(t)- текущее значение ошибки

Полная энергия передаваемого сигнала

- средняя мощность сигнала

С другой стороны с учетом

можно записать:

где S()=амплитуда спектра

Введем величину , характерную точность воспроизведенного сигнала. Тогда

y=

И учитывая приближение равенства

окончательно имеем

y=

По заданной y и при известной S() можно определить частоту (), ограничение спектра.

Поскольку при этом длительность сигнала Т конечна, сигнал будет определятся n своими значениями

n=2FT=

Дата добавления: 2014-01-13