П. 3. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка, уравнения Бернулли

П. 2. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Опр. 1. Уравнение вида f(x,y)dx=φ(x,y)dy, где f(x,y), φ(x,y) – однородные функции одной и той же степени, называется однородным.

Однородное уравнение посредством подстановки y=uv приводится к уравнению с разделяющимися переменными.

Будем искать решение уравнения (1) в виде произведения y=uv (2) где u, v – неизвестные функции х. Находя производную y’=u’v+uv’ и подставляя значение у и у’ в уравнение (1), получим u’v+u(v’+p(x)v)=f(x) (3).

Выберем функцию v так, чтобы выражение в скобках равнялось нулю. Для этого надо решить уравнение с разделяющимися переменными v’+p(x)v=0.

Решая его, находим или (4).

Постоянную интегрирования в выражении (4) не пишем, поскольку нам достаточно найти только какую-нибудь одну функцию v, которая преобразовывает в ноль выражение в скобках в уравнении (3).

Подставляя (4) в (3), получим или (5). Подставляя (4) и (5) в (2), найдём общее решение уравнения (1): (6).

Опр. Уравнением Бернулли называется уравнение вида y’+p(x)y=q(x)y^α,

где p(x), q(x) – известные функции х, α≠0, α≠1.

Замечание. На практике помнить формулу (6) не обязательно: достаточно лишь помнить, что линейные дифференциальные уравнения первого порядка, а также уравнения Бернулли, решаются методом Бернулли с помощью подстановки y=uv.

Дата добавления: 2014-01-13